Uitwerking opgave 08 Optimaliseren f(x)

Opgave 8

Ga na of de functie:

$y=\displaystyle\frac{x^2+1}{x}$

een maximum of minimum heeft.

Uitwerking

Natuurlijk is $x\neq0$ .

Kandidaten voor een maximum of minimum worden gevonden door de afgeleide gelijk aan $0$ te stellen. De afgeleide wordt gevonden met behulp van de quotiëntregel:

$y'=\displaystyle\frac{x.2x-(x^2+1)1}{x^2}=\displaystyle\frac{x^2-1}{x^2}=0$

Een breuk is gelijk aan $0$ als zijn teller gelijk is aan $0$ dus moeten we oplossen:

$x^2-1=0$

en dus geldt:

$x=1$ of $x=-1$

Wanneer we de tweede afgeleide willen gebruiken om te onderzoeken wanneer er sprake is van een maximum of minimum, moeten we voor het differentiëren van $y'$ opnieuw de kettingregel toepassen. Dat vergt enig rekenwerk. Het tekenonderzoek van $y'$ is gemakkelijker. Omdat in de noemer $x^2$ staat die altijd positief is, hoeven we alleen naar de teller te kijken. Deze bevat een tweedegraads functie waarvan de grafiek een dalparabool is. Rond het linker snijpunt $x=-1$ gaat de afgeleide van + via 0 naar - en dus is er een maximum voor $x=-1$ . Voor $x=1$ geldt het omgekeerde en daar is dus sprake van een minimum.
De optima zijn dus $(-1,-2)$ (maximum) en $(1,2)$ (minimum).
Deze uitkomst lijkt vreemd: de minimale waarde is groter dan de maximale waarde. Schets de grafiek van de functie en merk op dat tussen beide optima een verticale asymptoot ligt.