Uitwerking opgave 05 Oneigenlijke integralen

Terug naar Opgaven Oneigenlijke integralen

Bereken:

\displaystyle\int_{0}^{\infty}{e^{-x}\sin(x)}dx

Van deze integraal kunnen we meteen al vaststellen dat hij convergeert. Immers de functie |xe^{-x}| is groter dan |e^{-x}\sin(x)| vanaf een zekere waarde. De eerste functie leverde een eindige waarde op  en dat zal dus ook het geval zijn met de tweede functie. Zie de grafiek van e^{-x}\sin(x) hieronder.

sin(x).exp(-x)

De integraal heeft dus een ‘eindige’ waarde.

We kijken eerst naar de berekening van de onbepaalde integraal en maken hierbij gebruik van partieel integreren en krijgen:

\displaystyle\int{e^{-x}\sin(x)}dx=\int{-\sin(x)d(e^{-x})}=

=-\sin(x)e^{-x}+\displaystyle\int{e^{-x}}d(\sin(x))=

=-\sin(x)e^{-x}+\displaystyle\int{e^{-x}\cos(x)}dx

Het lijkt erop dat we met deze aanpak niets opschieten, maar door de nieuwe integraal \displaystyle\int{e^{-x}\cos(x)}dx opnieuw partieel te integreren, krijgen we het volgende resultaat:

\displaystyle\int{e^{-x}\sin(x)}dx=-\frac{1}{2}e^{-x}(\sin(x)+\cos(x))+C

Controleer dit resultaat door het te differentiëren; dit zou moeten leiden tot de functie e^{-x}\sin(x).

We krijgen nu:

\displaystyle\int_{0}^{\infty}{e^{-x}\sin(x)}dx=\lim_{a\to\infty}[-\frac{1}{2}e^{-x}(\sin(x)+\cos(x)]_{0}^{a}=\frac{1}{2}

Terug naar Opgaven Oneigenlijke integralen

0
Web Design BangladeshWeb Design BangladeshMymensingh