Uitwerking opgave 05 Oneigenlijke integralen

Terug naar Opgaven Oneigenlijke integralen

Bereken:

$\displaystyle\int_{0}^{\infty}{e^{-x}\sin(x)}dx$

Van deze integraal kunnen we meteen al vaststellen dat hij convergeert. Immers de functie $|xe^{-x}|$ is groter dan $|e^{-x}\sin(x)|$ vanaf een zekere waarde. De eerste functie leverde een eindige waarde op en dat zal dus ook het geval zijn met de tweede functie. Zie de grafiek van $e^{-x}\sin(x)$ hieronder.

De integraal heeft dus een 'eindige' waarde.

We kijken eerst naar de berekening van de onbepaalde integraal en maken hierbij gebruik van partieel integreren en krijgen:

$\displaystyle\int{e^{-x}\sin(x)}dx=\int{-\sin(x)d(e^{-x})}=$

$=-\sin(x)e^{-x}+\displaystyle\int{e^{-x}}d(\sin(x))=$

$=-\sin(x)e^{-x}+\displaystyle\int{e^{-x}\cos(x)}dx$

Het lijkt erop dat we met deze aanpak niets opschieten, maar door de nieuwe integraal $\displaystyle\int{e^{-x}\cos(x)}dx$ opnieuw partieel te integreren, krijgen we het volgende resultaat:

$\displaystyle\int{e^{-x}\sin(x)}dx=-\frac{1}{2}e^{-x}(\sin(x)+\cos(x))+C$

Controleer dit resultaat door het te differentiëren; dit zou moeten leiden tot de functie $e^{-x}\sin(x)$ .

We krijgen nu:

$\displaystyle\int_{0}^{\infty}{e^{-x}\sin(x)}dx=\lim_{a\to\infty}[-\frac{1}{2}e^{-x}(\sin(x)+\cos(x)]_{0}^{a}=\frac{1}{2}$

Terug naar Opgaven Oneigenlijke integralen

Opgaven

Uitwerking opgave 05 Oneigenlijke integralen

Contact

Bijles Wiskunde, Statistiek of GMAT?

Literatuur

Taalvoorkeur: