Tweedegraads vergelijkingen (abc-formule)

Samenvatting en voorbeelden

Een tweedegraads vergelijking (ook wel kwadratische vergelijking genoemd) heeft de algemene vorm:

ax^2+bx+c=0

Bij een tweedegraads vergelijking moet a\neq0 zijn, omdat anders geen sprake is van een tweedegraads vergelijking, maar bijvoorbeeld van een eerstegraads vergelijking.

Bij het onderwerp Tweedegraads vergelijkingen (ontbinden in factoren) wordt aangegeven aan welke eisen de vergelijking (met name de coëfficiënten) moet voldoen om met behulp van ontbinden in factoren kan worden opgelost. Het voordeel van die aanpak is dat die snel een oplossing geeft, wanneer men wat handigheid met deze methode heeft gekregen.

Voor wie het ontbinden in factoren van een tweedegraads vergelijking niet zo snel afgaat, of wie gewoon geen gebruik van deze aanpak wil maken, is er de abc-formule. Deze methode is meestal wat bewerkelijker omdat er nogal wat rekenwerk aan te pas kan komen. Daar staat tegenover dat hij altijd het gewenste resultaat levert.

Oplossing van bovengenoemde tweedegraads vergelijking levert maximaal twee oplossingen x_1 of x_2 die met de volgende abc-formule kunnen worden geschreven:

x_{1,2}=\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Hierbij wordt gemakshalve het teken \pm gebruikt, maar eigenlijk zou moeten worden geschreven:

x_1=\displaystyle\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

of

x_2=\displaystyle\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

We spraken over ‘maximaal twee oplossingen’. Dit heeft te maken met de waarde van de discriminant D, dat wil zeggen de formule onder het wortelteken:

D=b^2-4ac

We kunnen hierbij drie gevallen onderscheiden:

1. D>0

In dit geval zijn de oplossingen x_1 en x_2 verschillend en er wordt dan gezegd dat de vergelijking twee oplossingen heeft.

2. D=0

In dit geval zijn de oplossingen x_1 en x_2 gelijk en er wordt dan vaak gezegd dat de vergelijking slechts een oplossing heeft.

3. D<0

In dit geval heeft de vergelijking geen reële oplossingen en er wordt dan vaak gezegd dat de vergelijking geen oplossingen heeft.
We zullen in de volgende voorbeelden laten zien hoe een en ander in zijn werk gaat.

Voorbeeld 1

Los op:

x^2-7x+12=0

We zien onmiddellijk dat het linker lid kan worden ontbonden in factoren:

x^2-7x+12=(x-3)(x-4)

en de vergelijking:

(x-3)(x-4)=0

heeft als oplossing:

x=3 of x=4

Ter vergelijking lossen we de vergelijking ook op met de abc-formule:

x_{1,2}=\displaystyle\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4.1.12}}{2.1}=\displaystyle\frac{7\pm\sqrt{1}}{2}

en dus vinden we zoals verwacht:

x=3 of x=4

Wanneer kiezen we nu welke aanpak? Wie er een beetje handigheid in heeft ontwikkeld, zal snel proberen na te gaan of ontbinden in factoren eenvoudig is te realiseren. Lukt dit niet snel, dan is de abc-formule een altijd werkende aanpak, maar vraagt zoals we zien het nodige rekenwerk. En, waar gerekend wordt, kunnen ook gemakkelijk fouten worden gemaakt.

Voorbeeld 2

Los op:

2x^2-5x+2=0

In dit geval is het niet gemakkelijk via ontbinden in factoren de vergelijking op te lossen, immers a=2.

We moeten dus gebruik maken van de abc-formule:

x_{1,2}=\displaystyle\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4.2.2}}{2.2}=

=\displaystyle\frac{5\pm\sqrt{9}}{4}=\displaystyle\frac{5\pm3}{4}

en dus vinden we als oplossingen:

x_1=2 of x_2=\displaystyle\frac{1}{2}

Voorbeeld 3

Los op:

4x^2-20x+25=0

Met behulp van de abc-formule krijgen we:

x_{1,2}=\displaystyle\frac{-(-20)\pm\sqrt{(-20)^2-4.4.25}}{2.4}=

=\displaystyle\frac{20\pm\sqrt{400-400}}{8}=\displaystyle\frac{20\pm0}{8}

De oplossing is dus x_1=x_2=\displaystyle\frac{5}{2}. De vergelijking heeft dus twee gelijke (samenvallende) oplossingen, er wordt ook wel gezegd dat de vergelijking slechts een oplossing heeft.

N.B. Overigens kon de oplossing in dit geval ook snel worden gevonden door toepassing van het zogenaamde merkwaardige (ook wel: opmerkelijke) product:

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Wanneer we deze vergelijking vergelijken met de bovenstaande zien we onmiddellijk dat a=x en b=5 en dat dus kan worden geschreven:

4x^2-20x+25=(2x)^2-2.2x.5+5^2=(2x-5)^2

Opmerkelijke of merkwaardige producten zijn in de loop der jaren wat in onbruik geraakt, maar het kan geen kwaad er toch even op te wijzen.

Voorbeeld 4

Los op: x^2+2x+10=0

We kunnen de abc-formule toepassen. Wanneer we dit doen, zien we al snel dat:

D=2^2-4.1.10<0

De vergelijking heeft dus geen oplossingen.

Voorbeeld 5

Los op:

x(2x-1)-(x^2+2x)+2=0

Deze vergelijking voldoet niet aan de algemene vorm en moet dus worden geschreven in de standaardvorm. We werken de haakjes weg en krijgen:

2x^2-x-x^2-2x+2=x^2-3x+2=0

Door ontbinden in factoren kunnen we schrijven:

x^2-3x+2=(x-2)(x-1)=0

en dus krijgen we als oplossingen:

x=1 of x=2

Degenen die deze aanpak niet gemakkelijk kunnen toepassen, is er natuurlijk de abc-formule die altijd resultaat geeft.

x_{1,2}=\displaystyle\frac{-(-3)\pm\sqrt{9-4.1.2}}{2}=\displaystyle\frac{3\pm\sqrt{1}}{2}

wat dus dezelfde uitkomst geeft.

0
Web Design BangladeshWeb Design BangladeshMymensingh