Samenvatting en voorbeelden
De grafiek van een functie kan een of meer lokale extremen hebben: maxima of minima. Deze kunnen worden gevonden door de afgeleide
te berekenen en de vergelijking
op te lossen. Dit levert waarden van
waarvoor de functie een maximum of een minimum kan hebben. Het is evenwel niet zeker of een gevonden waarde van
een maximum of een minimum oplevert en het is zelfs niet zeker dat er sprake is van een maximum of een minimum. Het is ook mogelijk dat de grafiek voor zo’n waarde van
een horizontaal buigpunt heeft. Nader onderzoek moet dan uitsluitsel bieden. Meer informatie hierover kan worden gevonden in Optimaliseren
.
Een vergelijkbare aanpak wordt gekozen voor het vinden van lokale extremen van grafieken van functies met twee onafhankelijke variabelen: . Om punten
te vinden waarvoor
een extreem heeft worden de partiële afgeleiden
en
berekend en de vergelijkingen
en
opgelost. De oplossingen van deze twee vergelijkingen, dat wil zeggen die punten
die voldoen aan beide vergelijkingen, worden stationaire punten genoemd. Ook in dit geval is het niet zeker dat een gevonden oplossing
een maximum of een minimum oplevert en het is zelfs niet zeker dat er sprake is van een maximum of een minimum. Er zijn allerlei alternatieven mogelijk, waarvan het zadelpunt misschien wel het bekendste is. Net zoals dat het geval is bij optimaliseren van
zijn er ook bij het optimaliseren van
methoden om te bepalen of er sprake is van een extreem.
Voor partiële afgeleiden wordt ook wel een andere notatie gebruikt die we hier zullen toepassen: .
De volgende procedure kan worden gevolgd om duidelijkheid te krijgen over de aard van de stationaire oplossing:
- Bereken alle partiële afgeleiden van
:
,
,
,
,
en
. Deze zijn in het vervolg alle nodig en het is daarom nuttig ze alvast te hebben berekend.
- Los de vergelijkingen op:
en
. Neem aan dat
een oplossing is, dus een stationaire waarde.
- Bereken:
,
en
.
- Bereken:
.
Nu kunnen we de volgende conclusies trekken:
a. Als en
, dan is
een lokaal maximum;
b. Als en
, dan is
een lokaal minimum;
c. Als , dan is
een zadelpunt;
d. Als , dan kan
een lokaal maximum, een lokaal minimum of een zadelpunt zijn.
Het is een ingewikkeld verhaal, maar biedt een uitstekende leidraad om optimaliseringsproblemen op te lossen.
Voorbeeld 1
Bereken de stationaire punten van:
en geef aan om wat voor punten het gaat.
We lopen de punten langs.
1.
2.
We lossen de vergelijkingen en
op:
, dus
of
, dus
De stationaire waarden zijn dus: en
3. en 4.
Voor geldt:
,
,
en dus
.
Voor geldt:
,
,
en dus
.
We kunnen dus concluderen dat een lokaal maximum is en
een zadelpunt.
Voorbeeld 2
Een bedrijf produceert twee goederen en
die worden verkocht voor respectievelijk
en
euro per stuk. De totale kostenfunctie van dit bedrijf is (
is het aantal stuks van goed
en
is het aantal stuks van goed
):
Welke aantallen goederen en
moeten worden geproduceerd en verkocht om de winst te maximaliseren? (Ontleend aan Bradley T. en Patton P., Essential Mathematics for Economics and Business.)
De winst wordt vastgesteld door te berekenen: omzet minus de totale kosten
.
De omzet is:
De winst is derhalve:
Gevraagd wordt nu dus te optimaliseren en we doorlopen daartoe de eerder genoemde stappen:
1.
2.
We lossen de vergelijkingen en
op:
Deze twee vergelijkingen leveren de oplossing: en
.
3. en 4.
We vinden:
,
,
en dus
We kunnen dus concluderen dat de maximum winst gelijk is aan voor
en
.