Optimaliseren f(x,y)

Samenvatting en voorbeelden

De grafiek van een functie $y=f(x)$ kan een of meer lokale extremen hebben: maxima of minima. Deze kunnen worden gevonden door de afgeleide $f'(x)$ te berekenen en de vergelijking $f'(x)=0$ op te lossen. Dit levert waarden van $x$ waarvoor de functie een maximum of een minimum kan hebben. Het is evenwel niet zeker of een gevonden waarde van $x$ een maximum of een minimum oplevert en het is zelfs niet zeker dat er sprake is van een maximum of een minimum. Het is ook mogelijk dat de grafiek voor zo’n waarde van $x$ een horizontaal buigpunt heeft. Nader onderzoek moet dan uitsluitsel bieden. Meer informatie hierover kan worden gevonden in Optimaliseren $f(x)$ .

Een vergelijkbare aanpak wordt gekozen voor het vinden van lokale extremen van grafieken van functies met twee onafhankelijke variabelen: $z=f(x,y)$ . Om punten $(x,y)$ te vinden waarvoor $f(x,y)$ een extreem heeft worden de partiële afgeleiden $\frac{\partial{f}}{\partial{x}}$ en $\frac{\partial{f}}{\partial{y}}$ berekend en de vergelijkingen $\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=0$ en $\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=0$ opgelost. De oplossingen van deze twee vergelijkingen, dat wil zeggen die punten $(x,y)$ die voldoen aan beide vergelijkingen, worden stationaire punten genoemd. Ook in dit geval is het niet zeker dat een gevonden oplossing $(x,y)$ een maximum of een minimum oplevert en het is zelfs niet zeker dat er sprake is van een maximum of een minimum. Er zijn allerlei alternatieven mogelijk, waarvan het zadelpunt misschien wel het bekendste is. Net zoals dat het geval is bij optimaliseren van $y=f(x)$ zijn er ook bij het optimaliseren van $z=f(x,y)$ methoden om te bepalen of er sprake is van een extreem.

Voor partiële afgeleiden wordt ook wel een andere notatie gebruikt die we hier zullen toepassen: $\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=f_x$ .

De volgende procedure kan worden gevolgd om duidelijkheid te krijgen over de aard van de stationaire oplossing:

Bereken alle partiële afgeleiden van $f(x,y)$ : $f_x$ , $f_y$ , $f_{xx}$ , $f_{yy}$ , $f_{xy}$ en $f_{yx}$ . Deze zijn in het vervolg alle nodig en het is daarom nuttig ze alvast te hebben berekend.
Los de vergelijkingen op: $f_x=0$ en $f_y=0$ . Neem aan dat $(x_0,y_0)$ een oplossing is, dus een stationaire waarde.
Bereken: $A=f_{xx}(x_0,y_0)$ , $B=f_{xy}(x_0,y_0)=0$ en $C=f_{yy}(x_0,y_0)$ .
Bereken: $\Delta=AC-B^2$ .

Nu kunnen we de volgende conclusies trekken:
a. Als $\Delta>0$ en $A<0$ , dan is $(x_0,y_0)$ een lokaal maximum;
b. Als $\Delta>0$ en $A>0$ , dan is $(x_0,y_0)$ een lokaal minimum;
c. Als $\Delta<0$ , dan is $(x_0,y_0)$ een zadelpunt;
d. Als $\Delta=0$ , dan kan $(x_0,y_0)$ een lokaal maximum, een lokaal minimum of een zadelpunt zijn.

Het is een ingewikkeld verhaal, maar biedt een uitstekende leidraad om optimaliseringsproblemen op te lossen.

Voorbeeld 1

Bereken de stationaire punten van:

$f(x,y)=x^3-x^2-y^2+8$

en geef aan om wat voor punten het gaat.

We lopen de punten langs.

$f_x=3x^2-2x$

$f_y=-2y$

$f_{xx}=6x-2$

$f_{yy}=-2$

$f_{xy}=0$

We lossen de vergelijkingen $f_x=0$ en $f_y=0$ op:

$f_x=3x^2-2x=0$ , dus $x=0$ of $x=\displaystyle\frac{2}{3}$

$f_y=-2y=0$ , dus $y=0$

De stationaire waarden zijn dus: $(0,0)$ en $(\displaystyle\frac{2}{3},0)$

3. en 4.

Voor $\displaystyle(0,0)$ geldt: $A=-2$ , $B=0$ , $C=-2$ en dus $\Delta=4$ .

Voor $\displaystyle(\frac{2}{3},0)$ geldt: $A=2$ , $B=0$ , $C=-2$ en dus $\Delta=-4$ .

We kunnen dus concluderen dat $(0,0)$ een lokaal maximum is en $(\displaystyle\frac{2}{3},0)$ een zadelpunt.

Voorbeeld 2

Een bedrijf produceert twee goederen $X$ en $Y$ die worden verkocht voor respectievelijk $54$ en $52$ euro per stuk. De totale kostenfunctie van dit bedrijf is ( $x$ is het aantal stuks van goed $X$ en $y$ is het aantal stuks van goed $Y$ ):

$TC=3x^2+3xy+2y^2-100$

Welke aantallen goederen $X$ en $Y$ moeten worden geproduceerd en verkocht om de winst te maximaliseren? (Ontleend aan Bradley T. en Patton P., Essential Mathematics for Economics and Business.)

De winst wordt vastgesteld door te berekenen: omzet $(O)$ minus de totale kosten $(TC)$ .