Absolute waarde |x|

Samenvatting en voorbeelden

De absolute waarde $f(x)=|x|$ wordt vaak gezien als een lastige functie. Hij is als volgt gedefinieerd:

$|x|=x$ als $x\geq0$

$|x|=-x$ als $x<0$

De absolute waarde geeft de grootte van $x$ weer, dus de waarde van $x$ , maar dan zonder teken.

Voorbeeld 1

Als voorbeeld kijken we naar de functie $f(x)=|x|$ . Volgens bovenstaande definitie is $f(x)=x$ als $x\geq0$ , dus een rechte lijn en $f(x)=-x$ als $x<0$ .

Voorbeeld 2

Teken de grafiek van de functie:

$f(x)=|x-1|+|x+2|$

Volgens de definitie geldt:

$|x-1|=x-1$ als $x\geq1$ , we noemen dit geval A.

$|x-1|=-(x-1)=-x+1$ als $x<1$ , we noemen dit geval B.

$|x+2|=x+2$ als $x\geq-2$ , we noemen dit geval C.

$|x+2|=-(x+2)=-x-2$ als $x<-2$ , we noemen dit geval D.

We beschouwen nu de volgende intervallen voor $x$ .

Als $x<-2$ , dan gelden de gevallen B en D, dus:

$f(x)=-x+1-x-2=-2x-1$

Als $-2\leq{x}<1$ , dan gelden de gevallen B en C, dus:

$f(x)=-x+1+x+2=3$

Als $x\geq1$ , dan gelden de gevallen A en C, dus:

$f(x)=x-1+x+2=2x+1$

Dit resulteert in de volgende grafiek:

Voorbeeld 3

Nu de toepassing van de absolute waarde bij een tweedegraads functie:

$f(x)=|x^2-3x+2|$

De grafiek van de functie $x^2-3x+2$ is een parabool die de $X$ -as snijdt in $x=1$ en $x=2$ . De parabool is tevens een dalparabool en dus zal deze in het interval $1<x<2$ beneden de $X$ -as liggen. Omdat de functie $f(x)$ de absolute waarde van deze parabool betreft, zal het negatieve deel worden vervangen door het positieve equivalent, zie de figuur.