Uitwerking opgave 10 Goniometrische vergelijkingen

Los op voor $0\leq{x}\leq{2\pi}$ :

$6\sin^2(x)-5\sin(x)+1=0$

We stellen voor deze vergelijking een schaduwvergelijking op door te stellen:

$y=\sin(x)$

Substitutie in de oorspronkelijke vergelijking levert:

$6y^2-5y+1=0$

Dit is een tweedegraads vergelijking met als oplossing:

$y_{1,2}=\displaystyle\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4.6.1}}{12}=\displaystyle\frac{5\pm1}{12}$

$y_1=\displaystyle\frac{1}{2}$ of $y_2=\displaystyle\frac{1}{3}$

We moeten dus nog de vergelijkingen oplossen:

$\sin(x_1)=\displaystyle\frac{1}{2}$

$\sin(x_2)=\displaystyle\frac{1}{3}$

De eerste vergelijking levert:

$x_1=\displaystyle\frac{\pi}{6}=0.52$

$x_1=\displaystyle\frac{5\pi}{6}=2.61$

De tweede oplossing moet met behulp van een rekenmachine worden uitgerekend. We vinden bij benadering:

$x_2=0.34$

$x_2=2.80$

De vergelijking heeft dus in het gegeven interval vier oplossingen:

$0.34; 0.52; 2.61; 2.80$