Goniometrische vergelijkingen

Samenvatting en voorbeelden

Goniometrische vergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een of meer goniometrische functies voorkomen. We zullen ons hier beperken tot een paar veel voorkomende goniometrische vergelijkingen.
Bij het oplossen van dergelijke vergelijkingen is vaak – maar lang niet altijd – een (grafische) rekenmachine nodig, maar dat is niet voldoende. Overigens, we proberen het gebruik van zulke rekenmachines tot een minimum te beperken, dat vergroot het inzicht.
Laten we als voorbeeld eens kijken naar de vergelijking:

\sin(x)=\displaystyle\frac{1}{2}

Stel dat we deze vergelijking met een rekenmachine willen oplossen. We kunnen de x vinden door te kiezen:

\sin^{-1}(\displaystyle\frac{1}{2})=0.524

Hier is \sin^{-1} de inverse functie van de functie \sin. Dat wil zeggen, waar de laatste bij een gegeven x de waarde van \sin(x) geeft, doet de inverse precies het omgekeerde. In dit geval geven we dus de uitkomst van \sin(x) en krijgen we precies de betreffende waarde van x. We kunnen dit controleren: wanneer we van de waarde 0.524 de inverse sinus bepalen, krijgen we een half (niet precies omdat 0.524 een afgeronde waarde is).

We hadden de vergelijking ook zonder rekenmachine kunnen oplossen, want uit de tabel met goniometrische waarden blijkt dat bij het antwoord \displaystyle\frac{1}{2} de waarde:

x=\displaystyle\frac{\pi}{6}

hoort.

Zijn we hiermee nu klaar? Nee!
Wanneer we naar de eenheidscirkel kijken (zie ook het onderwerp uit de goniometrie Eeenheidscirkel en eenvoudige formules), zien we dat er binnen die cirkel nog een andere x is waarvoor de sinus een half oplevert. De hierboven gevonden waarde ligt in het eerste kwadrant, maar in het tweede kwadrant ligt nog een andere oplossing, namelijk:

x=\pi-\displaystyle\frac{\pi}{6}=\displaystyle\frac{5}{6}\pi

Ook deze waarde van x is dus een oplossing van de vergelijking. Maar ook hiermee zijn we er nog niet. We weten dat de volgende waarden van x oplossingen zijn:

x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+2k\pi, k=0,\pm1, \pm2, ...

omdat de periode van de functie 2\pi is .

Maar dan geldt ook:

x=\displaystyle\frac{5}{6}\pi+2k\pi, k=0, \pm1, \pm2, ...

In het algemeen geldt dus het volgende. Wanneer:

x=q

de oplossing is die wordt gevonden met behulp van tabel of rekenmachine van de vergelijking:

\sin(x)=p

dan zijn de oplossingen van deze vergelijking:

x=q+2k\pi, k=0, \pm1, \pm2, ...

of

x=\pi-q+2k\pi, k=0, \pm1, \pm2, ...

Op dezelfde manier behandelen we de vergelijking:

\cos(x)=p

Wanneer:

x=q

de gevonden oplossing is met behulp van tabel of met rekenmachine van de vergelijking:

\cos(x)=p

dan zijn de oplossingen van deze vergelijking:

x=q+2k\pi, k=0, \pm1, \pm2, ...

of

x=-q+2k\pi, k=0, \pm1, \pm2, ...

Nu bekijken we vergelijkingen van de vorm:

\sin(x)=\sin(y)

en

\cos(x)=\cos(y)

Deze vergelijkingen worden op dezelfde manier aangepakt als hierboven. Voor de vergelijkingen van het eerste type geldt:

x=y+2k\pi, k=0, \pm1, \pm2, ...

of

x=\pi-y+2k\pi, k=0,\pm1, \pm2, ...

en voor vergelijkingen van het tweede type geldt:

x=y+2k\pi, k=0, \pm1, \pm2, ...

of

x=-y+2k\pi, k=0, \pm1, \pm2, ...

Er zijn ook nog vergelijkingen van het type:

\sin(x)=\cos(y)

In dat geval kan gebruik worden gemaakt van de volgende formules die rechtstreeks uit de eenheidscirkel kunnen worden afgeleid (zie ook Goniometrie (eenheidscirkel en eenvoudige formules):

\sin(x)=\cos(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x)

\cos(x)=\sin(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x)

Voorbeeld 1 

Los op:

\sin(x)=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{2}

Uit de tabel weten we dat geldt:

x=\displaystyle\frac{\pi}{4}

Dan weten we dat ook een oplossing is:

x=\pi-\displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{3}{4}\pi

Omdat de \sin-functie een periode 2\pi heeft, zijn de oplossingen van de vergelijking dus:

x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+2k\pi, k=0, \pm1, \pm2, ...

x=\displaystyle\frac{3}{4}\pi+2k\pi, k=0, \pm1, \pm2, ...

Voorbeeld 2

Los op:

\cos(x)=\displaystyle\frac{1}{2}

Uit de tabel weten we dat geldt:

x=\displaystyle\frac{\pi}{3}

Omdat de \cos-functie een periode 2\pi heeft, zijn de oplossingen van de vergelijking:

x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2k\pi, k=0, \pm1, \pm2, ... of

x=-\displaystyle\frac{\pi}{3}+2k\pi, k=0, \pm1, \pm2, ...

Voorbeeld 3 

Los op:

\sin(x)=0.6

Deze waarde kunnen we niet uit de tabel halen en dus moeten we de rekenmachine gebruiken.

We vinden (afgerond):

x=0.64

en dus (ook afgerond):

x=3.14-0.64=2.50

Omdat de \sin-functie een periode 2\pi heeft, zijn de oplossingen van de vergelijking dus (afgerond):

x=0.64+2k\pi, k=0, \pm1, \pm2, ...

x=2.50+2k\pi, k=0, \pm1, \pm2, ...

Voorbeeld 4

Los op:

\sin(x)=1.2

In dit geval bieden tabel noch rekenmachine uitkomst. Immers, een \sin-functie ligt in het interval [-1,+1] (het bereik) en dus zal geen enkele waarde van x een oplossing kunnen zijn.

Voorbeeld 5

Los op:

\sin(x)=\sin(\displaystyle\frac{\pi}{6})

We kunnen de oplossing gelijk opschrijven:

x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+2k\pi, k=0. \pm1, \pm2, ...

x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+2k\pi, k=0, \pm1, \pm2, ...

0
Web Design BangladeshWeb Design BangladeshMymensingh