Uitwerking opgave 03 Goniometrische vergelijkingen

Los de volgende vergelijkingen op:

$\sin(x+\displaystyle\frac{\pi}{3})=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{2}$

$\cos(-x)=\displaystyle\frac{1}{2}$

Bij de eerste vergelijking kunnen we uit de tabel aflezen dat moet gelden:

$x+\displaystyle\frac{\pi}{3}=\displaystyle\frac{\pi}{4}$

$x=-\displaystyle\frac{1}{12}\pi$

maar ook:

$x+\displaystyle\frac{\pi}{3}=\pi-\displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{3\pi}{4}$

$x=\displaystyle\frac{3\pi}{4}-\displaystyle\frac{\pi}{3}=\displaystyle\frac{5}{12}\pi$

Omdat de $\sin$ -functie een periode van $2\pi$ heeft, vinden we als oplossing:

$x=-\displaystyle\frac{\pi}{12}+2k\pi, k=0. \pm1, \pm2, ...$

$x=\displaystyle\frac{5\pi}{12}+2k\pi, k=0, \pm1, \pm2, ...$

Bij de tweede vergelijking weten we:

$\cos(-x)=\cos(x)$

en dus is de vergelijking:

$\cos(x)=\displaystyle\frac{1}{2}$

en uit de tabel weten we dan dat geldt:

$x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2k\pi, k=0, \pm1, \pm2, ...$

$x=-\displaystyle\frac{\pi}{3}+2k\pi, k=0, \pm1, \pm2, ...$