Tweedegraads ongelijkheden

Samenvatting en voorbeelden

Een tweedegraads ongelijkheid heeft dezelfde vorm als de overeenkomstige vergelijking, maar dan met een ongelijkheidsteken op de plaats van het gelijkheidsteken, zie het volgende voorbeeld:

$ax^2+bx+x\geq0$

Natuurlijk moet $a\neq0$ zijn, omdat anders geen sprake is van een tweedegraads ongelijkheid.

Bij de onderwerpen Tweedegraads vergelijkingen (ontbinden in factoren) en Tweedegraads vergelijkingen (abc-formule) wordt uitgebreid behandeld hoe dergelijke vergelijkingen kunnen worden opgelost. Bestudeer eerst deze onderwerpen voor je aan tweedegraads ongelijkheden begint.

Bij het oplossen van tweedegraads ongelijkheden moeten we steeds gebruik maken van het oplossen van tweedegraads vergelijkingen. Beide methoden, ontbinden in factoren of oplossen met behulp van de abc-formule, kunnen worden gebruikt.

De aanpak is nu als volgt. We berekenen de oplossingen van de overeenkomstige vergelijking en hierbij is de waarde van de discriminant:

$D=b^2-4ac$

van groot belang.

Vervolgens maken we gebruik van het feit of er bij de tweedegraads functie sprake is van een dal- of een bergparabool.

We kunnen drie gevallen onderscheiden:

1. $D>0$
In dit geval zijn de oplossingen $x_1$ en $x_2$ van de tweedegraads vergelijking verschillend. De parabool snijdt de $X$ -as dus in twee punten. Wanneer er sprake is van een dal- of bergparabool, weten we ook voor welke $x$ de functie groter of kleiner dan $0$ is.

2. $D=0$
In dit geval zijn de oplossingen $x_1$ en $x_2$ gelijk. Voor deze waarde van $x$ is de functie gelijk aan $0$ , voor andere $x$ -waarden is hij groter dan $0$ (dalparabool) of kleiner dan $0$ (bergparabool).

3. $D<0$
In dit geval heeft de vergelijking geen reële oplossingen. De parabool ligt dan geheel boven (dalparabool) of beneden (bergparabool) de $X$ -as.

Voorbeeld 1

Los op:

$x^2-7x+12\leq0$

We zien onmiddellijk dat het linker lid kan worden ontbonden in factoren:

$x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$

en de vergelijking:

$(x-3)(x-4)=0$

heeft als oplossing:

$x=3$ of $x=4$

Er is sprake van een dalparabool met twee snijpunten met de $X$ -as en dus geldt de ongelijkheid voor:

$3\leq{x}\leq4$

Hetzelfde resultaat wordt natuurlijk ook bereikt wanneer de abc-formule zou zijn gebruikt.

Voorbeeld 2

Los op:

$2x^2-5x+2>0$

In dit geval vinden we de oplossingen van de vergelijking:

$2x^2-5x+2=0$

door gebruik te maken van de abc-formule:

$x_{1,2}=\displaystyle\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4.2.2}}{2.2}=\displaystyle\frac{5\pm\sqrt{9}}{4}=\displaystyle\frac{5\pm3}{4}$

dus:

$x_1=2$ of $x_2=\displaystyle\frac{1}{2}$

Omdat de functie in het linkerlid een dalparabool als grafiek heeft, zal de ongelijkheid gelden voor de volgende waarden van $x$ :

$x<\displaystyle\frac{1}{2}$ of $x>2$

Voorbeeld 3

Los op:

$-4x^2+20x-25\geq0$

We lossen eerst de vergelijking op:

$-4x^2+20x-25=0$

$4x^2-20x+25=0$

Met behulp van de abc-formule krijgen we:

$x_{1,2}=\displaystyle\frac{-(-20)\pm\sqrt{(-20)^2-4.4.25}}{2.4}=$

$=\displaystyle\frac{20\pm\sqrt{400-400}}{8}=\displaystyle\frac{20\pm{0}}{8}$

De oplossing is dus $x_{1,2}=\displaystyle\frac{5}{2}$ . De vergelijking heeft dus twee gelijke (samenvallende) oplossingen, er wordt ook wel gezegd dat de vergelijking slechts een oplossing heeft.
De functie in het linkerlid is een bergparabool en dus geldt de ongelijkheid alleen voor de waarde:

$x=\displaystyle\frac{5}{2}$

N.B. Overigens kon de oplossing in dit geval ook snel worden gevonden door toepassing van het zogenaamde opmerkelijke product:

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Voorbeeld 4

Los op:

$x^2+2x+10>0$

We lossen eerst de overeenkomstige vergelijking op:

$x^2+2x+10=0$

Voor de discriminant geldt:

$D=2^2-4.1.10<0$

De vergelijking heeft dus geen oplossingen en de dalparabool (immers $a>0$ ) ligt geheel boven de $X$ -as.
De ongelijkheid geldt dus voor alle waarden van $x$ .