Substitutie methoden

Samenvatting en voorbeelden

Bij het onderwerp Integreren (standaard functies) is van een beperkt aantal functies de primitieve gegeven. Ook kunnen we van lineaire combinaties van deze functies de primitieve berekenen.

Van de meeste functies kunnen we de primitieve niet in formulevorm afleiden. Er zijn evenwel methoden waarbij de primitieve toch kan worden berekend. Dit kunnen ingewikkelde methoden zijn, maar hier richten we ons op een bepaalde categorie van (algebraïsche) substitutie.

De functies waarover we het hier over willen hebben, worden geschreven als:

$y=f(ax+b)$ met $a\neq0$

Als $F(x)$ de primitieve functie van $f(x)$ is, dan is:

$\displaystyle\frac{1}{a}F(ax+b)$

de primitieve functie van:

$f(ax+b)$

Dit kunnen we nagaan door het resultaat te differentiëren en maken daarbij gebruik van de kettingregel:

$\displaystyle\frac{d}{dx}[\displaystyle\frac{1}{a}F(ax+b)]=\displaystyle\frac{1}{a}\displaystyle\frac{dF(ax+b)}{dx}=\displaystyle\frac{1}{a}f(ax+b).a=f(ax+b)$

En dat is het gewenste resultaat.
Het woord substitutie wordt gebruikt omdat we het bovenstaande resultaat ook door de volgende substitutie kunnen bereiken:

$u=ax+b$

en vervolgens $F(ax+b)$ differentiëren:

$\displaystyle\frac{dF(ax+b)}{dx}=\displaystyle\frac{dF(u)}{du}\displaystyle\frac{du}{dx}=f(u).a=af(ax+b)$

Aan de hand van een aantal voorbeelden laten we zien hoe de algebraïsche substitutie in de praktijk in zijn werk gaat.

Voorbeeld 1

Los op:

$\displaystyle\int{(3x+2)^3}dx$

Van de functie:

$f(x)=x^3$

is de primitieve:

$F(x)=\displaystyle\frac{1}{4}x^4$

Voor de integrand van de integraal geldt:

$(3x+2)^3=f(3x+2)$

en dus is de primitieve van deze functie:

$\displaystyle\frac{1}{3}F(3x+2)=\displaystyle\frac{1}{3}.\displaystyle\frac{1}{4}(3x+2)^4=\displaystyle\frac{1}{12}(3x+2)^4$

en dus:

$\displaystyle\int{(3x+2)^3}dx=\displaystyle\frac{1}{12}(3x+2)^4+C$

De andere methode levert natuurlijk hetzelfde resultaat. We stellen:

$u=3x+2$

Wanneer we deze functie differentiëren, krijgen we:

$du=3dx$

$dx=\displaystyle\frac{1}{3}du$

Substitueren we deze resultaten in de oorspronkelijke integraal, dan krijgen we:

$\displaystyle\int{u^3.\displaystyle\frac{1}{3}}du=\displaystyle\frac{1}{3}.\displaystyle\frac{1}{4}u^4+C$

Transformeren we weer terug:

$\displaystyle\frac{1}{12}u^4+C=\displaystyle\frac{1}{12}(3x+2)^4+C$

Welke van de beide methoden de voorkeur verdient is een kwestie van persoonlijke voorkeur. Bij de volgende voorbeelden zullen we dan weer de ene, dan weer de andere kiezen.

Voorbeeld 2

Los op:

$\displaystyle\int{2(4x+1)^2}dx$

De primitieve van:

$(4x+1)^2$

is gelijk aan:

$\displaystyle\frac{1}{3}(4x+1)^3.\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{1}{12}(4x+1)^3$

en dus:

$\displaystyle\int{2(4x+1)^2}dx=\displaystyle\frac{1}{6}(4x+1)^3+C$

Voorbeeld 3

Los op:

$\displaystyle\int{5e^{8x+3}}dx$

We schrijven:

$\displaystyle\int{5e^{8x+3}}dx=5\displaystyle\int{e^{8x+3}}dx$

en de primitieve van:

$e^{8x+3}$

is gelijk aan:

$e^{8x+3}\displaystyle\frac{1}{8}$

Dus we kunnen schrijven:

$\displaystyle\int{5e^{8x+3}}dx=\displaystyle\frac{5}{8}e^{8x+3}+C$

Voorbeeld 4

Los op:

$\displaystyle\int_{1}^{2}{\displaystyle\frac{3}{2x+1}}dx$

We schrijven deze integraal als:

$\displaystyle\int_{1}^{2}{\displaystyle\frac{3}{2x+1}}dx=3\displaystyle\int_{1}^{2}{\displaystyle\frac{1}{2x+1}}dx$

De primitieve van:

$\displaystyle\frac{1}{2x+1}$

is:

$\displaystyle\frac{1}{2}\ln(|2x+1|)$

en dus geldt:

$\displaystyle\int_{1}^{2}{\displaystyle\frac{3}{2x+1}}dx=3[\displaystyle\frac{1}{2}\ln(|2x+1|)+1]_{1}^{2}+C=\displaystyle\frac{3}{2}\ln(\displaystyle\frac{5}{3})+C$

Voorbeeld 5

Los op:

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin(2x+\displaystyle\frac{\pi}{2})dx$

De primitieve van:

$\sin(2x+\displaystyle\frac{\pi}{2})$

is gelijk aan:

$-\cos(2x+\displaystyle\frac{\pi}{2}).\displaystyle\frac{1}{2}$

en dus geldt:

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin(2x+\displaystyle\frac{\pi}{2})dx=[-\cos(2x+\displaystyle\frac{\pi}{2})]_{0}^{\pi}=\cos(\displaystyle{\pi}{2})-\cos(\displaystyle{\pi}{2})=0$