Product- en quotiëntregel

Samenvatting en voorbeelden

Er is een aantal standaardfuncties waarvan de afgeleiden bekend worden verondersteld. Bijvoorbeeld, van de functie:

y=5x^8

is de afgeleide:

y'=40x^7

Het is handig en verstandig deze standaardafgeleiden paraat te hebben en ze niet steeds te hoeven opzoeken.
Er zijn ook functies die niet tot de standaardfuncties behoren, maar waarvan toch de afgeleiden moeten worden bepaald. Hierbij spelen de standaardafgeleiden wel een belangrijke rol. Er zijn twee belangrijke typen.

1. Het product van twee functies:

y=f(x)g(x)

2. Het quotiënt van twee functies:

y=\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}

Door gebruik te maken van de zogeheten productregel (in geval 1) of de quotiëntregel (in geval 2) kunnen de afgeleiden worden berekend.

Productregel

Als:

y=f(x)g(x)

dan is:

y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

Quotiëntregel

Als:

y=\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}

dan is:

y'=\displaystyle\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

De laatste formule is beter te onthouden met de zogeheten nat-tan formule. Als:

y=\displaystyle\frac{t(x)}{n(x)}

waarbij t(x) de functie in de teller is en n(x) de functie in de noemer, dan geldt:

y'=\displaystyle\frac{nat-tan}{n^2}

Hierbij staat nat voor noemer*afgeleide teller en tan voor teller*afgeleide noemer.

We zullen in enkele voorbeelden de product- en quotiëntregel toepassen.

Voorbeeld 1

Differentieer:

y=x\ln(x)

In dit geval is:

f(x)=x

en

g(x)=\ln(x)

en dus geldt:

f'(x)=1

en

g'(x)=\displaystyle\frac{1}{x}

Met behulp van de productregel krijgen we:

y'=1.\ln(x)+x.\displaystyle\frac{1}{x}=1+\ln(x).

Voorbeeld 2

Differentieer:

y=\displaystyle\frac{x}{x+1}

In dit geval moeten we de quotiëntregel toepassen met:

t(x)=x

en

n(x)=x+1

We krijgen dan:

y'=\displaystyle\frac{(x+1).1-x.1}{(x+1)^2}=\displaystyle\frac{1}{(x+1)^2}

Voorbeeld 3

Differentieer:

y=(x^2+1)\sin(x)

Hier moeten we de productregel gebruiken met:

f(x)=x^2+1

en

g(x)=\sin(x)

Omdat:

f'(x)=2x

en

g'(x)=\cos(x)

is het resultaat:

y'=2x\sin(x)+(x^2+1)\cos(x)

Voorbeeld 4

Differentieer:

y=\displaystyle\frac{x^2+1}{x}

Hier geldt:

t(x)=x^2+1

en

n(x)=x

en dus:

t'(x)=2x

en

n'(x)=1.

De quotiëntregel levert dan:

y'=\displaystyle\frac{x.2x-(x^2+1).1}{x^2}=\displaystyle\frac{x^2-1}{x^2}=1-\displaystyle\frac{1}{x^2}

Dit resultaat zou veel sneller zonder quotiëntregel kunnen worden berekend. Immers, we kunnen schrijven:

y=\displaystyle\frac{x^2+1}{x}=\displaystyle\frac{x^2}{x}+\displaystyle\frac{1}{x}=x+x^{-1}

Deze functie kunnen we met alleen de standaardfuncties differentiëren en we krijgen – natuurlijk – hetzelfde resultaat.

0
Web Design BangladeshWeb Design BangladeshMymensingh