Ongelijkheden met breuken

Samenvatting en voorbeelden

Onder ongelijkheden met breuken worden die ongelijkheden bedoeld waarbij de onbekende variabele (bijvoorbeeld $x$ ) in de noemer of zowel in de teller als de noemer van breuken kan voorkomen.
Zulke ongelijkheden kunnen worden opgelost door de vergelijking op $0$ te herleiden en breuken op te tellen of af te trekken nadat ze gelijke noemers hebben gekregen.
N.B. Bij het onderwerp Vergelijkingen met breuken wordt ook het kruiselings vermenigvuldigen als mogelijkheid geopperd, maar dat is bij ongelijkheden geen betrouwbare aanpak.
We zullen een en ander aan de hand van enkele voorbeelden illustreren.

Voorbeeld 1

Los op:

$\displaystyle\frac{1}{x-1}>0$

Dit is een eenvoudig voorbeeld. Omdat de teller van het linkerlid altijd positief is, zal de breuk positief of negatief zijn, wanneer de noemer dat is.

Dus, de breuk is groter dan $0$ als:

$x-1>0$

dus als:

$x>1$

Voorbeeld 2

Los op:

$\displaystyle\frac{x-1}{x+2}<0$

Deze ongelijkheid is wat lastiger op te lossen. We kunnen wel beredeneren wanneer aan deze ongelijkheid wordt voldaan. De breuk is kleiner dan $0$ voor die waarden van $x$ waarvoor de teller positief en de noemer negatief is, of andersom. Maar hiermee hebben we nog niet de oplossing gevonden.
Een handige aanpak is de volgende. Trek voor elke factor in teller en noemer een zogeheten getallenlijn en geef daarop aan voor welke waarden van $x$ de betreffende factor positief, gelijk aan $0,$ dan wel negatief is. We doen dit in dit geval voor de factoren $x-1$ en $x+2$ .

$x-1$ ----------------------------(1)+++++++

$x+2$ -------------(-2) ++++++++++++++

quotiënt ++++++(-2) ----------(1)+++++++

De eerste lijn geeft aan dat $x-1=0$ voor $x=1$ , $x-1>0$ voor $x>1$ en $x-1<0$ voor $x<1$ ; voor de tweede lijn geldt $x+2=0$ voor $x=-2$ , $x+2>0$ als $x>-2$ en $x+2<0$ voor $x<-2$ .
De derde lijn volgt uit de eerste twee. Omdat we hier te maken hebben met een deling kijken we naar de deling in bepaalde intervallen: -/- levert een +, -/+ levert een - en +/+ levert een +. In dit geval krijgen we dus: voor $x<-2$ is de breuk positief (-/-); voor $-2<x<1$ is de breuk negatief (-/+) en voor $x>1$ is de breuk weer negatief (+/+).
Deze aanpak kan ook eenvoudig voor meer factoren worden toegepast, zoals we zullen laten zien in het volgende voorbeeld.
De bovenstaande ongelijkheid gaat dus op voor $-2<x<1$ .

Voorbeeld 3

Los op:

$\displaystyle\frac{x^2+x-1}{x+1}>0$

We merken op dat de teller kan worden geschreven als:

$x^2+x-1=(x+2)(x-1)$

en dus moeten we oplossen:

$\displaystyle\frac{(x+2)(x-1)}{x+1}>0$

Opnieuw trekken we voor elke factor een getallenlijn. Let wel op dat de nulpunten $-2$ , $-1$ , $+1$ ten opzichte van elkaar op de juiste positie staan.

x+2 ----------(-2)++++++++++++++++++

x-1 ------------------------------------(1)+++++

x+1 ---------------------(-1)+++++++++++++

resultaat -----(-2)+++(-1)----------(1)++++++

De ongelijkheid geldt dus voor:

$-2<x<-1$ of $x>1$

Voorbeeld 4

Los op:

$\displaystyle\frac{1}{x}>\displaystyle\frac{x-1}{x+1}$

Dit voorbeeld is nog wat ingewikkelder omdat bij het herleiden op $0$ breuken moeten worden opgeteld, en dat gaat slechts wanneer de noemers gelijk zijn gemaakt.
We gaan als volgt te werk. We brengen de breuken naar het linker lid:

$\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{x-1}{x+1}>0$

De aftrekking wordt mogelijk wanneer de noemers van beide breuken gelijk zijn gemaakt:

$\displaystyle\frac{1}{x}.\displaystyle\frac{x+1}{x+1}-\displaystyle\frac{x-1}{x+1}.\displaystyle\frac{x}{x}>0$

Hierdoor kunnen we de ongelijkheid schrijven als:

$\displaystyle\frac{x+1-x(x-1)}{x(x+1)}>0$

$\displaystyle\frac{-x^2+2x+1}{x(x+1)}>0$

$\displaystyle\frac{x^2-2x-1}{x(x+1)}<0$

De teller kan worden ontbonden in factoren:

$x^2-2x-1=(x-1+\sqrt{2})(x-1-\sqrt{2})$

We hebben dit resultaat bereikt door met behulp van de abc-formule eerst de oplossingen van de tweedegraads vergelijking te berekenen.
We moeten dus de volgende ongelijkheid oplossen:

$\displaystyle\frac{(x-1+\sqrt{2})(x-1-\sqrt{2})}{x(x+1)}<0$