Logaritmische vergelijkingen

Samenvatting en voorbeelden

Logaritmische vergelijkingen zijn vergelijkingen waarin de onbekende variabele in het argument van de logaritme voorkomt (zie ook, bijvoorbeeld voor notaties, Logaritmische functies en grafieken).

Een voorbeeld van een dergelijke vergelijking is:

$\log_3(x+1)=5$

De onbekende variabele $x$ komt voor in het argument van de logaritme die in dit geval het grondtal 3 heeft. Voordat aan een oplossing van een logaritmische vergelijking wordt begonnen, moet worden nagegaan voor welke waarde van $x$ de logaritme bestaat. Met andere woorden: wat is het domein van de logaritme. In bovenstaande vergelijking is het domein:

$x>-1$

De verdere aanpak is recht-toe-recht-aan. Met behulp van allerlei regels en trucs moet worden toegewerkt naar een vergelijking van het type:

$\log_g(x)=\log_g(C)$

waaruit dan de oplossing kan worden afgeleid:

$x=C$

Bij het oplossen van logaritmische vergelijkingen wordt vaak van een of meer van de volgende vier eigenschappen van logaritmen gebruik gemaakt:

$\log_g(ab)=\log_g(a)+\log_g(b)$
$\log_g(\displaystyle\frac{a}{b})=\log_g(a)-\log_g(b)$
$\log_g(a^{n})=n\log_g(a)$
$\log_g(a)=\displaystyle\frac{\log_c(a)}{\log_c(g)}$

Natuurlijk gelden voor $c$ dezelfde voorwaarden als voor $g$ . Verder wordt veel gebruik gemaakt van de eigenschap:

$\log_g(1)=0$

Tenslotte is het altijd handig de definitie van de logaritme in gedachten te houden:

$\log_g(x)=y\Longleftrightarrow x=g^y$

Voorbeeld 1

Los op:

$\log[(x-1)(x+1)]=0$

De logaritme bestaat als:

$(x-1)(x+1)>0$

dus als:

$x>1$ of $x<-1$

Dit heet het domein van de functie.

Voor de vergelijking kunnen we schrijven:

$\log[(x-1)(x+1)]=\log(1)$

en dus:

$(x-1)(x+1)=1$

$x^2-1=1$

$x^2=2$

$x=\pm\sqrt{2}$

Wanneer we deze oplossingen combineren met het boven berekende domein, blijken beide oplossingen te voldoen.

Voorbeeld 2

Los op:

$\ln(x+5)=2$

Het domein van de $\ln$ -functie is:

$x>-5$

Voor de vergelijking kunnen we schrijven:

$\ln(x+5)=\ln(e^2)$

Hieruit volgt:

$x+5=e^2$

$x=e^2-5$

Deze oplossing blijkt te voldoen.

Voorbeeld 3

Los op:

$\displaystyle\frac{(x-1)\ln(x+2)}{x^2+1}=0$

Het domein van de functie in het linker lid is (bepaald door de $\ln$ -functie):

$x>-2$

Voor de vergelijking geldt dat, als een breuk gelijk is aan $0$ , de teller gelijk aan $0$ is. Dus:

$(x-1)\ln(x+2)=0$

en hieruit volgt:

$x-1=0$ of $\ln(x+2)=0$

en dus geldt:

$x=1$ of $\ln(x+2)=0$

Voor deze laatste vergelijking kunnen we schrijven:

$\ln(x+2)=\ln(1)$

$x+2=1$

$x=-1$

We hebben nu gevonden de oplossingen:

$x=1$ of $x=-1$

en deze moeten we combineren met het eerder gevonden domein:

$x>-2$

Hieruit mogen we concluderen dat beide oplossingen voldoen.

Voorbeeld 4

Los op:

$\log_5(x^2+5x+7)=0$

We bepalen allereerst het domein van de $\ln$ -functie. Er moet gelden:

$x^2+5x+7>0$

De tweedegraads functie in het linker lid heeft een dalparabool als grafiek en voor de discriminant van deze functie geldt:

$D=25-4.1.7=-4<0$

Dit betekent dat de dalparabool geen snijpunten met de $X$ -as heeft en bovenstaande ongelijkheid voor alle waarden van $x$ bestaat.

We kunnen de vergelijking schrijven als:

$\log_5(x^2+5x+7)=\log_5(1)$

en dus volgt:

$x^2+5x+7=1$

$x^2+5x+6=0$

$(x+3)(x+2)=0$

Deze vergelijking heeft de oplossingen:

$x=-3$ of $x=-2$

Omdat het domein beide waarden van $x$ bevat, zijn beide oplossingen geldig.

Voorbeeld 5

$2\ln(x)-\ln(x+1)=0$

De eerste logaritme is gedefinieerd voor $x>0$ , de tweede voor $x>-1$ . De vergelijking is gedefinieerd als aan beide voorwaarden is voldaan en dus is het domein van de functie in het linker lid $x>0$ .