Vergelijkingen met breuken

Samenvatting en voorbeelden

Onder vergelijkingen met breuken worden die vergelijkingen verstaan waarbij de onbekende variabele (bijvoorbeeld $x$ ) in de noemer of zowel in de teller als de noemer van een breuk kan voorkomen.

Er zijn twee manieren om zulke vergelijkingen op te lossen:

Door de breuken gelijknamig te maken;
Door kruiselings te vermenigvuldigen.

We zullen dit aan de hand van een aantal voorbeelden toelichten.

Voorbeeld 1

Los op:

$\displaystyle\frac{1}{x}=\displaystyle\frac{x-1}{x+1}$

De vergelijking is alleen gedefinieerd voor noemers die ongelijk $0$ zijn:

$x\neq0$ en $x\neq{-1}$

Kern van de eerste methode is dat breuken alleen kunnen worden opgeteld als hun noemers gelijk zijn. We maken daarom de noemers van de beide breuken gelijk:

$\displaystyle\frac{1}{x}.\displaystyle\frac{x+1}{x+1}=\displaystyle\frac{x-1}{x+1}.\displaystyle\frac{x}{x}$

Hierdoor krijgen we de vergelijking:

$\displaystyle\frac{x+1-x(x-1)}{x(x+1)}=0$

$\displaystyle\frac{-x^2+2x+1}{x(x+1)}=0$

$\displaystyle\frac{x^2-2x-1}{x(x+1)}=0$

Wanneer een breuk gelijk 0 is moet de teller gelijk $0$ zijn, dus:

$x^2-2x-1=0$

De oplossing van deze vergelijking wordt verkregen met de $abc$ -formule:

$x_1=\displaystyle\frac{2+\sqrt{8}}{2}=1+\sqrt{2}$

$x_2=\displaystyle\frac{2-\sqrt{8}}{2}=1-\sqrt{2}$

De tweede methode (kruiselings vermenigvuldigen) leidt rechtstreeks tot de vergelijking:

$x^2-2x-1=0$

Immers, kruiselings vermenigvuldigen betekent dat het product van $1$ en $x+1$ wordt gelijkgesteld aan het product van $x$ en $x-1$ , dus:

$1.(x+1)=x(x-1)$

en dat levert dezelfde vergelijking op.

N.B. Bij gewone vergelijkingen leidt kruiselings vermenigvuldigen sneller tot een oplossing en is daarom te verkiezen boven gelijknamig maken van breuken. Echter, bij ongelijkheden komt dezelfde problematiek voor, en dan is het kruiselings vermenigvuldigen meestal uit den boze. Bij het onderwerp Ongelijkheden met breuken komt dat uitgebreid ter sprake.