Differentiëren van standaardfuncties

Samenvatting en voorbeelden

Over het algemeen worden de volgende afgeleiden van standaardfuncties bekend verondersteld.

f(x) f'(x)
a. x^n nx^{n-1}
b. c 0
c. \sin(x) \cos(x)
d. \cos(x) -\sin(x)
e. e^x e^x
f. \ln(x) \displaystyle\frac{1}{x}
g. a^x a^x\ln(a)
h. \log_g(x) \displaystyle\frac{1}{x\ln(g)}

Verder gelden bij het differentiëren de volgende regels:

Als:

i. y=cf(x)

dan geldt:

y'=cf'(x)

en als:

j. y=af(x)+bg(x)

dan geldt:

y'(x)=af'(x)+bg'(x)

Aan de hand van de volgende functies laten we zien hoe je de regels moet toepassen. Tussen haakjes staat welke regels zijn gebruikt.

Voorbeeld 1

y=x^3

dus:

y'=3x^2

(volgens a)

Voorbeeld 2

y=5x^2

dus:

y'=5.2x=10x

(volgens a, i)

Voorbeeld 3

y=7

dus:

y'=0

(volgens c)

Voorbeeld 4

y=8e^x

dus:

y'=8e^x

(volgens e, i)

Voorbeeld 5

y=9\ln(x)

dus:

y'=\displaystyle\frac{9}{x}

(volgens f, i)

Voorbeeld 6

y=4x^2+2\log_7(x)

dus:

y'=8x+\displaystyle\frac{2}{x}\displaystyle\frac{1}{\ln(7)}

volgens (a, h, i, j)

Voorbeeld 7

y=8\ln(x)+4x^2

dus:

y'=\displaystyle\frac{8}{x}+8x

volgens (a, f, i, j)

Nu een paar moeilijkere voorbeelden.

Voorbeeld 8

Wat is de afgeleide van:

y=\sqrt[4]{x^3}

Deze functie lijkt niet in het lijstje van standaardfuncties voor te komen, maar dat is toch wel het geval. Er kan worden geschreven:

y=\sqrt[4]{x^3}=x^{\frac{3}{4}}

en dus kan regel a. worden toegepast met:

n=\displaystyle\frac{3}{4}

Dus:

y'=\displaystyle\frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1}=\displaystyle\frac{3}{4\sqrt[4]{x}}

Voorbeeld 9

Differentieer:

y=\displaystyle\frac{9}{5x^3}

Deze functie kan ook worden geschreven als:

y=\displaystyle\frac{9}{5}x^{-3}

en dus geldt:

y'=\displaystyle\frac{9}{5}.-3x^{-4}=-\displaystyle\frac{27}{5x^4}

(volgens a,i)

Voorbeeld 10

Een lastige functie lijkt:

y=\displaystyle\frac{5x^4+x}{x^4}

maar ook deze kan anders worden geschreven, zodat hij eenvoudig kan worden gedifferentieerd:

y=\displaystyle\frac{5x^4+x}{x^4}=\displaystyle\frac{5x^4}{x^4}+\displaystyle\frac{x}{x^4}=5+\displaystyle\frac{1}{x^3}=5+x^{-3}

en dus is:

y'=0-3x^{-4}=-\displaystyle\frac{3}{x^4}

(volgens a, b, j)

Voorbeeld 11

Differentieer de functie:

y=x^4-\displaystyle\frac{1}{x^4}

We kunnen de functie anders schrijven:

y=x^4-x^{-4}

en dus is:

y'=4x^3+4x^{-5}=4x^3+\displaystyle\frac{4}{x^5}

(volgens a, i)

Voorbeeld 12

Tenslotte willen we de volgende functie differentiëren:

y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[5]{x^2}}

We kunnen deze functie schrijven als:

y=\displaystyle\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}=x^{-\frac{2}{5}}

De afgeleide van deze functie is:

y'=-\displaystyle\frac{2}{5}x^{-\frac{7}{5}}=-\displaystyle\frac{2}{5x\sqrt[5]{x^2}}

0
Web Design BangladeshWeb Design BangladeshMymensingh