Som- en verschilformules

Samenvatting en voorbeelden

In de goniometrie moeten vaak goniometrische formules worden vereenvoudigd. Dit is onder meer van belang bij bijvoorbeeld het oplossen van vergelijkingen. Bij het onderwerp Goniometrie (eenheidscirkel en eenvoudige formules) hebben we al een paar veel voorkomende formules gezien en gebruikt. We zullen deze hier nog een keer herhalen. Een paar basisformules zijn:

$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$

$\tan(x)=\displaystyle\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

Verder hebben we de zogenaamde dubbele hoek formules.

$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$

$\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$

De laatste formule komt ook in de volgende gedaantes voor, afhankelijk van de formule die moet worden vereenvoudigd of de vergelijking die moet worden opgelost:

$\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$

$\cos(2x)=1-2\sin^2(x)$

Dan zijn er nog een paar formules die rechtstreeks met behulp van de eenheidscirkel kunnen worden afgeleid, maar natuurlijk ook gewoon van een formulekaart kunnen worden afgelezen. Voorbeelden zijn:

$\sin(-x)=-\sin(x)$

$\cos(-x)=\cos(x)$

$\cos(x+\displaystyle\frac{\pi}{2})=-\sin(x)$

$\sin(x+\displaystyle\frac{\pi}{2})=\cos(x)$

Gaandeweg worden de formules wat ingewikkelder. Zo zijn er de bekende som- en verschilformules:

$\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\sin(y)\cos(x)$

$\sin(x-y)=\sin(x)\cos(y)-\sin(y)\cos(x)$

$\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$

$\cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)$

Merk op dat de tweede vergelijking gemakkelijk kan worden afgeleid uit de eerste vergelijking en dat dit ook het geval is met de vierde vergelijking die gemakkelijk uit de derde kan worden afgeleid (substitueer in het rechter lid $-y$ voor $y$ en maak vervolgens gebruik van de formules $\sin(-y)=-\sin(y)$ en $\cos(-y) =\cos(y))$ .

Tenslotte zijn er nog de formules van Simpson/Mollweide:

$\sin(x)+\sin(y)=2\sin[\displaystyle\frac{1}{2}(x+y)]\cos[\displaystyle\frac{1}{2}(x-y)]$

$\sin(x)-\sin(y)=2\sin[\displaystyle\frac{1}{2}(x-y)]\cos[\displaystyle\frac{1}{2}(x+y)]$

$\cos(x)+\cos(y)=2\cos[\displaystyle\frac{1}{2}(x+y)]\cos[\displaystyle\frac{1}{2}(x-y)]$

$\cos(x)-\cos(y)=-2\sin[\displaystyle\frac{1}{2}(x+y)]\sin[\displaystyle\frac{1}{2}(x-y)]$

Deze kunnen uit de vorige formules worden afgeleid. Bij de eerste formule gaat dit op de volgende manier. We gebruiken de volgende formules:

$\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\sin(y)\cos(x)$

$\sin(x-y)=\sin(x)\cos(y)-\sin(y)\cos(x)$

Door de beide leden van deze formules op te tellen, krijgen we:

$\sin(x+y)+\sin(x-y)=2\sin(x)\cos(y)$

Wanneer we stellen:

$u=x+y$

$v=x-y$

krijgen we:

$x=\displaystyle\frac{1}{2}(u+v)$

$y=\displaystyle\frac{1}{2}(u-v)$

en dus krijgen we:

$\sin(u)+\sin(v)=2\sin[\displaystyle\frac{1}{2}(u+v)]\cos[\displaystyle\frac{1}{2}(u-v)]$

Wanneer we nu weer $u=x$ en $v=y$ noemen (waarom zouden we dat niet mogen doen: een naam is maar een naam), hebben we de juistheid van de eerste vergelijking van Simpson/Mollweide aangetoond.