Raaklijn aan grafiek bepalen

Samenvatting en voorbeelden

We willen een vergelijking vinden voor de raaklijn in een punt $(x_0,y_0)$ van de grafiek van een functie $f(x)$ .
Voordat we hierop nader ingaan, zullen we eerst het volgende algemene geval bespreken: wat is de vergelijking van de lijn door een punt P met coördinaten $(x_p,y_p)$ met richtingscoëfficiënt $m$ .
De algemene vergelijking van een lijn is:

$y=ax+b$

Omdat de richtingscoëfficiënt gelijk aan $m$ is, geldt:

$y=mx+b$

Omdat deze lijn door het punt $(x_p,y_p)$ moet gaan, moet gelden:

$y_p=mx_p+b$

waaruit volgt:

$b=y_p-mx_p$

Voor de lijn kunnen we nu dus schrijven:

$y=mx+(y_p-mx_p)$

Anders geschreven:

$y-y_p=m(x-x_p)$

Het is het handigste deze formule gewoon te onthouden, en dat is niet zo moeilijk gezien de eenvoudige, symmetrische vorm.

Nu komen we weer terug op de vergelijking van een raaklijn in een punt van de grafiek van een functie $f(x)$ .Wanneer we de raaklijn in het punt $(x_0,y_0)$ van de grafiek van de functie $f(x)$ willen bepalen, geldt voor de richtingscoëfficiënt:

$m=f'(x)$

en kan voor de raaklijn worden geschreven:

$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$

Voorbeeld 1

Bepaal de raaklijn in het punt $(0,-5)$ van de grafiek van de functie:

$y=x^2+2x-5$

We bepalen eerst de afgeleide $y'$ van de functie:

$y'=2x+2$

In het punt $(0,-5)$ heeft de afgeleide de waarde $2$ en dit is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in $(0,-5)$ .

Volgens eerdergenoemde formule is de vergelijking van de raaklijn dus:

$y-(-5)=2(x-0)$

$y=2x-5$

Voorbeeld 2

Waar snijdt de raaklijn in het punt $(0,1)$ van de grafiek van de functie:

$y=e^x$

de $X$ -as.

Eerst bepalen we de vergelijking van de raaklijn in het punt $(0,1)$ .

De afgeleide van de functie is:

$y'=e^x$

In het punt $(0,1)$ heeft de afgeleide de waarde $1$ , dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn is $1$ . De raaklijn gaat door het punt $(0,1)$ dus is de vergelijking van de raaklijn: