Uitwerking opgave 03 Partieel integreren

Bereken:

$\displaystyle\int{\sin^2(x)}dx$

We kunnen deze integraal schrijven als:

$\displaystyle\int{\sin(x)}d(-\cos(x))$

En kunnen dus het resultaat met behulp van partieel integreren uitwerken.

$\displaystyle\int{\sin(x)}d(-\cos(x))=$

$=-\sin(x)\cos(x)+\displaystyle\int{\cos(x)}d\sin(x))=$

$=-\sin(x)\cos(x)+\displaystyle\int{\cos^2(x)}dx$

De laatste term kunnen we anders schrijven door gebruik te maken van een formule uit de goniometrie: $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ :

$\displaystyle\int{\cos^2(x)}dx=\displaystyle\int{(1-\sin^2(x))}dx=x-\displaystyle\int{\sin^2(x)}dx$

We hebben nu gekregen:

$\displaystyle\int{\sin^2(x)}dx=-\sin(x)\cos(x)+x-\displaystyle\int{\sin^2(x)}dx$

en dus:

$\displaystyle\int{\sin^2(x)}dx=\displaystyle\frac{1}{2}[x-\sin(x)\cos(x)]+C$

Controleer door differentiëren het resultaat.