Uitwerking opgave 02 Partieel integreren

Opgave 2

Bereken:

$\displaystyle\int{e^x\sin(x)}dx$

Uitwerking

Deze integraal kunnen we uitrekenen met behulp van partieel integreren, maar dan wel in twee stappen. We kunnen de integraal schrijven als:

$\displaystyle\int{e^x\sin(x)}dx=-\displaystyle\int{e^x}dcos(x)=$

$=-e^x\cos(x)+\displaystyle\int{\cos(x)}de^x=$

$=-e^x\cos(x)+\displaystyle\int{e^x\cos(x)}dx$

We lijken met deze aanpak niet veel te zijn opgeschoten. We hadden een integraal met als integrand het product $e^x\sin(x)$ en het resultaat is een integrand met het product $e^x\cos(x)$ . Maar schijn bedriegt.
We schrijven:

$\displaystyle\int{e^x\cos(x)}dx=\displaystyle\int{e^x}d\sin(x)=$

$=e^x\sin(x)-\displaystyle\int{\sin(x)}de^x=$

$=e^x\sin(x)-\displaystyle\int{e^x\sin(x)}dx$

Stellen we:

$I=\displaystyle\int{e^x\sin(x)}dx$ dan krijgen we:

$I=-e^x\cos(x)+e^x\sin(x)-I$

We lossen deze vergelijking op naar $I$ :

$\displaystyle\int{e^x\sin(x)}dx=\displaystyle\frac{1}{2}e^x[\sin(x)-\cos(x)]+C$

Controleer het resultaat door het te differentiëren.

Terug naar Opgaven Partieel integreren

Opgaven

Uitwerking opgave 02 Partieel integreren

Opgave 2

Uitwerking

Contact

Bijles Wiskunde, Statistiek of GMAT?

Literatuur

Taalvoorkeur: