Blader: Home   /   Partieel integreren

Partieel integreren

Samenvatting en voorbeelden

Het vinden van een primitieve functie is bijna onbegonnen werk. Over het algemeen is het bepalen van de primitieve zeer moeilijk of zelfs onmogelijk.
Bij andere onderdelen van het onderwerp Integreren zagen we welke aanpak moet worden gekozen: kijk allereerst in de tabel van standaardfuncties. Geeft dat geen resultaat, probeer dan de integrand aan te passen en kijk vervolgens of de tabel nu wel soelaas kan bieden. Verder is de substitutiemethode een mogelijkheid.
Er zijn echter nog andere mogelijkheden en een daarvan is partieel integreren. Deze methode is gerelateerd aan de productregel bij differentiëren. Stel we willen het product van twee functies differentiëren. We passen dan de productregel toe:

[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

We kunnen deze expressie ook schrijven als:

\displaystyle\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=\displaystyle\frac{df(x)}{dx}g(x)+f(x)\displaystyle\frac{dg(x)}{dx}

Wanneer we linker- en rechterlid met dx vermenigvuldigen (wiskundig gezien is dit niet helemaal correct, maar toch …), dan krijgen we:

d(f(x)g(x))=g(x)df(x)+f(x)dg(x)

of:

f(x)dg(x)=d(f(x)g(x))-g(x)df(x)

We integreren linker en rechter lid:

\displaystyle\int{f(x)dg(x)}=\displaystyle\int{d(f(x)g(x))}-\displaystyle\int{g(x)df(x)}

en krijgen de volgende expressie:

\displaystyle\int{f(x)dg(x)}=f(x)g(x)-\displaystyle\int{g(x)df(x)}

Om partieel integreren te kunnen toepassen is het de kunst in een integraal bovenstaande relatie te herkennen. Dat is zeker lastig, maar met wat oefening toch geen probleem.

Voorbeeld 1

We beginnen met de volgende integraal:

\displaystyle\int{xe^x}dx

Hierin herkennen we nog niet de vorm uit het bovenstaande resultaat, maar daar kunnen we wel wat aan doen.

We kunnen de afgeleide van e^x schrijven als \displaystyle\frac{de^x}{dx} en die is gelijk aan:

\displaystyle\frac{de^x}{dx}=e^x

en dus na ‘kruiselings vermenigvuldigen’:

de^x=e^xdx

Nu kunnen we de integraal schrijven als:

\displaystyle\int{xe^x}dx=\displaystyle\int{xde^x}

Volgens de regel van partieel integreren kunnen we dit nu schrijven (als we herkennen f(x)=x en g(x)=e^x):

\displaystyle\int{xe^x}dx=\displaystyle\int{xde^x}=xe^x-\displaystyle\int{e^x}dx=xe^x-e^x=(x-1)e^x

Contoleer het resultaat.

Voorbeeld 2

We kunnen de volgende integraal met behulp van partieel integreren oplossen:

\displaystyle\int{\ln(x)}dx

Op het eerste gezicht lijkt er geen sprake te zijn van een product van twee functies, maar schijn bedriegt. We kunnen schrijven:

\displaystyle\int{\ln(x).1}dx=\displaystyle\int{\ln(x)}d(x)=

=x\ln(x)-\displaystyle\int{xd\ln(x)}=

=x\ln(x)-\displaystyle\int{x\displaystyle\frac{1}{x}}dx=

=x\ln(x)-x

We kunnen opnieuw het resultaat controleren door het te differentiëren.

0
Web Design BangladeshWeb Design BangladeshMymensingh