Kettingregel

Samenvatting en voorbeelden

Bij het differentiëren kunnen we gebruik maken van een tabel met de afgeleiden van standaardfuncties, eventueel in combinatie met de product- en/of quotiëntregel. Om, als voorbeeld, een functie van het type:

$y=(5x^2+3x+1)^{10}$

te kunnen differentiëren, schieten deze regels te kort of zijn ze te omslachtig. In die gevallen biedt de kettingregel uitkomst.

Er zijn twee manieren om de kettingregel toe te passen. De eerste is de formele methode en wordt hier aan de hand van een voorbeeld toegelicht. Zie voor meer details de literatuur.

Laten we het bovenstaande voorbeeld verder uitwerken.

Voorbeeld 1

Differentieer:

$y=(5x^2+3x+1)^{10}$

Als we een functie moeten differentiëren, kijken we eerst naar de tabel met standaardfuncties. In deze lijst staat:

$y=x^{10}$ (dus $y=x^n$ met $n=10$ )

maar niet:

$y=(5x^2+3x+1)^{10}$

We passen nu de transformatie toe:

$u=5x^2+3x+1$

dat wil zeggen, we gaan over op een andere variabele. We krijgen dan:

$y=u^{10}$

Vervolgens gebruiken we de kettingregel:

$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{dy}{du}\displaystyle\frac{du}{dx}$

Er geldt:

$\displaystyle\frac{dy}{du}=10u^9$

$\displaystyle\frac{du}{dx}=10x+3$

En dus:

$\displaystyle\frac{dy}{dx}=y'=10u^9(10x+3)$

We willen het resultaat uitdrukken in alleen de variabele $x$ . Terugtransformeren levert dan:

$y'=10(5x^2+3x+1)^9(10x+3)$

Voorbeeld 2

Differentieer:

$y=\ln(x^2+1)$

We stellen nu:

$u=x^2+1$

en krijgen:

$y=\ln(u)$

en deze functie staat wel in ons rijtje met standaardfuncties. Toepassing van de kettingregel levert:

$y'=\displaystyle\frac{1}{u}.2x$

en na terugtransformatie krijgen we:

$y'=\displaystyle\frac{1}{x^2+1}.2x=\displaystyle\frac{2x}{x^2+1}$

Een minder formele aanpak werkt als volgt. Laten we daartoe opnieuw kijken naar de bovenstaande voorbeelden. Om:

$y=(5x^2+3x+)^{10}$

te differentiëren, zouden we argeloos de regel:

$y=x^n\longrightarrow y'=nx^{n-1}$

hebben kunnen gebruiken. Dat zou dus tot het resultaat:

$y'=10(5x^2+3x+1)^9$

leiden. Dit zou hebben gekund, maar het is nog niet helemaal goed. Om alsnog tot het goede antwoord te komen, moeten we dit foute antwoord nog vermenigvuldigen met de afgeleide van de functie die op de plaats van $x$ in $y=x^n$ staat. In dit geval dus de afgeleide van $5x^2+3x+1$ en dat is $10x+3$ . Het resultaat is dan:

$y=10(5x^2+3x+1)^9(10x+3)$

In het tweede voorbeeld zou de argeloze differentieerder hebben gekregen:

$y'=\displaystyle\frac{1}{x^2+1}$

maar dit is evenmin goed. Om tot het goede antwoord te komen, moet dit resultaat nog worden vermenigvuldigd met de afgeleide van $x^2+1$ en dat is $2x$ , en we krijgen dan het juiste antwoord:

$y'=\displaystyle\frac{2x}{x^2+1}$

Nog enkele andere voorbeelden.

Voorbeeld 3

Differentieer:

$y=\sin(3x+1)\Longrightarrow y'=\cos(3x+1).3=3\cos(3x+1)$

In dit voorbeeld hebben we te maken met een $\sin$ -functie als standaardfunctie en daarvan is de afgeleide te vinden in de lijst met standaardfuncties.

Voorbeeld 4

Differentieer:

$y=\sin(x^2)\Longrightarrow y'=\cos(x^2).2x=2x\cos(x^2)$

Opnieuw is de $\sin$ -functie de standaardfunctie.

Voorbeeld 5

Differentieer:

$y=\sin^2(x)$

In dit voorbeeld wordt dus de afgeleide gevraagd van een kwadraat. Dat betekent dat $x^n$ de standaardfunctie is en dat op de plaats van $x$ de functie $\sin(x)$ staat. Eigenlijk moeten we differentiëren:

$y=[\sin(x)]^2$

Als argeloze differentieerder zouden we kunnen denken dat de afgeleide is:

$y'=2\sin(x)$

maar omdat $\sin(x)$ op de plaats van de $x$ staat, moeten we nog vermenigvuldigen met de afgeleide van $\sin(x)$ en dat is $\cos(x)$ . Het juiste antwoord is dus:

$y'=2\sin(x)\cos(x)$

Merk op dat de kettingregel een aanvulling is op de reeds bestaande mogelijkheden: de afgeleiden van de standaardfuncties en de product- en quotiëntregel. Net zoals de productregel in combinatie met de quotiëntregel kan worden gebruikt, wordt ook de kettingregel in combinatie met de product- en/of quotiëntregel gebruikt, zoals in het volgende voorbeeld.