Integreren van standaard functies

Samenvatting en voorbeelden

In de volgende formule heet $f(x)$ integrand en $F(x)$ de primitieve.

$\displaystyle\int f(x)dx=F(x)+C$

waarbij $F(x)$ voldoet aan:

$\displaystyle\frac{dF}{dx}=f(x)$

De volgende primitieven worden vaak gebruikt.

$\boldsymbol {f(x)}$	$\boldsymbol {F(x)}$
$x^n$	$\displaystyle\frac{1}{n+1}x^{n+1}$	a.
$c$ (constante)	$cx$	b.
$\sin(x)$	$-\cos(x)$	c.
$\cos(x)$	$\sin(x)$	d.
$e^x$	$e^x$	e.
$\displaystyle\frac{1}{x}$	$\ln\|x\|$	f.
$a^x$	$\displaystyle\frac{a^x}{\ln(a)}$	g.

Verder gelden de volgende regels:

h. $\displaystyle\int{[af(x)+bg(x)]dx}=a\displaystyle\int{f(x)dx}+b\displaystyle\int{g(x)dx}$

De integralen tot dusver zijn zogenaamde onbepaalde integralen, dat wil zeggen dat de grenzen van de integraal niet zijn gegeven. Dit in tegenstelling tot de bepaalde integralen die wel integratiegrenzen hebben.

Bij een bepaalde integraal geldt:

i. $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$

Aan de hand van de volgende voorbeelden kunnen we zien hoe een en ander in zijn werk gaat. Meestal staat aangegeven welke regels zijn gebruikt.

Voorbeeld 1

Los op:

$\displaystyle\int x^3dx$

De primitieve wordt berekend met behulp van a. en dus:

$\displaystyle\int x^3dx=\displaystyle\frac{1}{4}x^4+C$

Voorbeeld 2

Los op:

$\displaystyle\int 5x^2dx$

De primitieve wordt berekend met behulp van a. in combinatie met h. en dus:

$\displaystyle\int 5x^2dx=\displaystyle\int \displaystyle\frac{5}{3}x^3+C$

Voorbeeld 3

Los op:

$\displaystyle\int 7dx$

De primitieve wordt berekend met behulp van b. en dus:

$\displaystyle\int 7dx=7x+C$

Voorbeeld 4

Los op:

$\displaystyle\int 8e^xdx$

De primitieve wordt berekend met behulp van e. in combinatie met h. en dus:

$\displaystyle\int 8e^xdx=8e^x+C$

Voorbeeld 5

Los op:

$\displaystyle\int_{1}^{3} \displaystyle\frac{9}{x}dx$

De primitieve wordt berekend met behulp van f. in combinatie met h. en i. en dus:

$\displaystyle\int_{1}^{3} \displaystyle\frac{9}{x}dx=9[\ln|x|]_{1}^{3}=9[\ln(3)-\ln(1)]=9\ln(3)$

Immers, $\ln(1)=0$ .

Voorbeeld 6

Los op:

$\displaystyle\int_{0}^{1} (4x^2+6.5^x)dx$

De primitieve wordt berekend met behulp van a. en g. in combinatie met h. en i. en dus:

$\displaystyle\int_{0}^{1} (4x^2+6.5^x)dx=4\displaystyle\int_{0}^{1}x^2dx+6\displaystyle\int_{0}^{1}5^xdx=$

$=[4.\displaystyle\frac{1}{3}x^3+6\displaystyle\frac{5^x}{\ln(5)}]_{0}^{1}=\displaystyle\frac{4}{3}+\displaystyle\frac{6}{\ln(5)}=$

$\displaystyle\frac{4}{3}+\displaystyle\frac{24}{\ln(5)}$

Voorbeeld 7

Los op:

$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin(x)dx$

De primitieve wordt berekend met behulp van c. in combinatie met i. en dus:

$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin(x)dx=[-\cos(x)]_{0}^{\pi}=\cos(0)-\cos(\pi)=1-(-1)=2$

Voorbeeld 8

Los op:

$5\displaystyle\int \sqrt[3]{x^2}dx$

Deze functie lijkt niet in het lijstje van standaardfuncties voor te komen, maar dat is indirect toch wel het geval. Er kan worden geschreven:

$\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}$

en dus kan regel a. worden toegepast met $n=\displaystyle\frac{2}{3}$ . Dus:

$\displaystyle\int \sqrt[3]{x^2}dx=5\displaystyle\int {x^{\frac{2}{3}}}dx=\displaystyle\frac{5}{\frac{2}{3}+1}x^{\frac{2}{3}+1}+C=3x\sqrt[3]{x^2}+C$

Voorbeeld 9

Los op:

$\displaystyle\int_{1}^{2} {\displaystyle\frac{9}{5x^3}}dx$

Deze functie lijkt niet in het lijstje van standaardfuncties voor te komen, maar dat is indirect toch wel het geval. De functie kan worden geschreven als:

$\displaystyle\frac{9}{5x^3}=\displaystyle\frac{9}{5}x^{-3}$