Eerstegraads ongelijkheden

Het oplossen van een eerstegraads ongelijkheid gaat in grote lijnen op dezelfde wijze als het oplossen van een eerstegraads vergelijking (zie voor meer details en opgaven het onderwerp Eerstegraads vergelijkingen).

Een voorbeeld van een eerstegraads ongelijkheid is:

$2(x+3)-3x+2\leq3(x-2)+2(x+1)+6$

De vraag is dan de waarden van $x$ te bepalen die voldoen aan de ongelijkheid.
Om deze ongelijkheid op te lossen gaan we als volgt te werk.
Allereerst verwijderen we de haakjes:

$2x+6-3x+2\leq3x-6+2x+2+6$

Vervolgens verzamelen we in het linker en rechter lid de $x$ 'en en de constanten:

$-x+8\leq5x+2$

Nu brengen we de $x$ 'en naar het linker lid en de constanten naar het rechter lid:

$-x-5x\leq2-8$

wat leidt tot:

$-6x\leq-6$

Tot zover is de gang van zaken identiek gelijk aan het oplossen van eerstegraads vergelijkingen. Maar op dit moment zien we een belangrijk verschil. Bij vergelijkingen deelden we beide leden van de gelijkheid door $-6$ . Bij ongelijkheden doen we hetzelfde maar wanneer we delen door een negatief getal moet wel het kleiner-dan teken wijzigen in een groter-dan teken. Ook: wanneer er een groter-dan teken zou hebben gestaan zouden we dat moeten wijzigen in een kleiner-dan teken. In het algemeen geldt: wanneer bij een ongelijkheid beide leden door een negatief getal wordt gedeeld, draait - zoals we dat noemen - het ongelijkheidsteken om.

We krijgen in dit geval:

$x\geq1$

De ongelijkheid geldt dus voor waarden van $x$ groter dan of gelijk aan $1$ .

Deze wijziging van het teken bij het delen door een negatief getal is snel te zien aan een eenvoudig voorbeeld. We weten dat voor de getallen $-2$ en $-5$ geldt:

$-2\geq-5$

maar wanneer we beide delen door $-1$ krijgen we:

$2\leq5$

Het is mogelijk dat deze handelingen leiden tot bijvoorbeeld de ongelijkheid:

$0.x\leq{c}$

In dit geval zijn er twee mogelijkheden.

1. $c\geq0$

In dit geval zullen alle waarden van $x$ voldoen.

2. $c<0$

In dit geval zal geen enkele waarde van $x$ voldoen.

We zullen een en ander aan de hand van een aantal voorbeelden toelichten.

Voorbeeld 1

Los op:

$x+4\leq5x-8$

We kunnen deze ongelijkheid schrijven als:

$x-5x\leq-8-4$

dus:

$-4x\leq-12$

We delen beide leden door $-4$ . Dit is een negatief getal en dus draait het ongelijkheidsteken om:

$x\geq3$

Voorbeeld 2

$4(x^2-3)+2x+12>x^2+(3x^2+4)$

Op het eerste gezicht lijkt deze vergelijking door de aanwezigheid van kwadraten van $x$ niet een eerstegraads ongelijkheid te zijn, maar dat kan ook schijn zijn. Het is daarom noodzakelijk de haakjes te verwijderen en de ongelijkheid verder te vereenvoudigen, zoals gewoonlijk.
We kunnen deze ongelijkheid dus schrijven als:

$4x^2-12+2x+12>x^2+3x^2+4$

$4x^2+2x>4x^2+4$

$2x>4$

$x>2$

We zien dat we eigenlijk niet met een tweedegraads maar met een eerstegraads ongelijkheid te maken hebben, omdat de kwadraten van $x$ tegen elkaar wegvallen.
In de voorlaatste regel hebben we gedeeld door het positieve getal $2$ en dus verandert het ongelijkheidsteken niet.

Voorbeeld 3

Los op:

$3(x+2)-(2x+1)<11-2x-1$

We kunnen deze ongelijkheid schrijven als:

$3x+6-2x-1<11-2x-1$

$x+5<10-2x$

$3x<5$

$x<\displaystyle\frac{5}{3}$

In de voorlaatste regel hebben we beide leden van de ongelijkheid gedeeld door het positieve getal $3$ en dus verandert het ongelijkheidsteken niet.

Voorbeeld 4

Los op:

$3x+2(x-5)>5x+2$

We kunnen deze ongelijkheid schrijven als:

$3x+2x-10>5x+2$

$0.x>12$

Voor geen enkele waarde van $x$ is deze ongelijkheid waar. Immers, het linkerlid is altijd gelijk aan $0$ en dat is voor geen enkele waarde van $x$ groter dan $12$ .