Vergelijkingen met wortelvormen

Samenvatting en voorbeelden

Een vergelijking met een of meer wortelvormen heet een wortelvergelijking. In principe kan de wortelvorm een hogeremachts wortel zijn, maar in veruit de meeste gevallen hebben we te maken met een tweedemachts wortel. In dit onderwerp gaan we steeds uit van tweedemachts wortels.

Een dergelijke vergelijking kan worden opgelost wanneer hij bijvoorbeeld kan worden herleid tot de volgende vorm:

$\sqrt{ax+b}=c$

waarbij natuurlijk aan de volgende voorwaarden moet worden voldaan:

1. $a\neq0$

Dit moet gelden, anders is er geen sprake van een vergelijking.

2. De expressie onder het wortelteken moet groter dan of gelijk zijn aan $0$ , dus:

$x\geq{-\displaystyle\frac{b}{a}}$

3. Een tweedemachtswortel is altijd groter dan of gelijk aan $0$ , dus:

$c\geq0$

Wanneer de vergelijking tot de vorm:

$\sqrt{ax+b}=c$

is herleid, kan de oplossing van de vergelijking worden verkregen na het kwadrateren van beide leden van de vergelijking:

$x=\displaystyle\frac{c^2-b}{a}$

Wanneer deze oplossing is gevonden, moet worden nagegaan of deze voldoet aan voorwaarden 2 en 3. Anders gezegd, de oplossing moet voldoen aan de oorspronkelijke vergelijking.

Voorbeeld 1

Los op:

$\sqrt{x-1}=x$

Er moet aan de volgende voorwaarden worden voldaan:

$x\geq1$ en $x\geq0$

dus aan:

$x\geq1$

We kunnen deze vergelijking zonder verdere bewerkingen kwadrateren:

$x-1=x^2$

$x^2-x+1=0$

Dit is een tweedegraads vergelijking die geen oplossingen heeft omdat de discriminant kleiner is dan $0$ :

$D=1-4=-3<0$

Er is dus geen enkele waarde van $x$ die voldoet aan de vergelijking.

Voorbeeld 2

Los op:

$\sqrt{2x^2-2x-3}=-x$

We kunnen twee wegen bewandelen. In de eerste plaats kunnen we nagaan voor welke waarden van $x$ bovenstaande vergelijking is gedefinieerd. In dat geval moet de expressie onder de wortel groter dan of gelijk aan nul zijn, en moet ook het rechter lid groter dan of gelijk zijn aan $0$ . Dat vergt nogal wat rekenwerk. We kunnen ook eerst de oplossingen proberen te berekenen en vervolgens zien welke voldoen aan de vergelijking. We kiezen hier de tweede benadering.
We kwadrateren beide leden van de vergelijking en krijgen:

$2x^2-2x-3=x^2$

$x^2-2x-3=0$

We kunnen deze tweedegraads vergelijking oplossen door ontbinden in factoren:

$(x-3)(x+1)=0$

en krijgen als oplossingen:

$x=3$ of $x=-1$

We gaan nu na of deze oplossingen ook voldoen aan de oorspronkelijke vergelijking en komen na substitutie tot de conclusie dat de eerste oplossing niet voldoet en de tweede wel:

$\sqrt{2.3^2-2.3-3}=3\neq{-3}$