Gebroken functies en grafieken

Samenvatting en voorbeelden

Een eenvoudig voorbeeld van een gebroken functie is de volgende functie:

$y=a+\displaystyle\frac{b}{x-c}$

Vanzelfsprekend geldt een beperkende voorwaarde voor $x$ :

$x\neq{c}$

Voor de waarde $x=c$ heeft de functie een verticale asymptoot.

Er bestaat ook een horizontale asymptoot. Dat is de lijn die de grafiek nadert wanneer $x\rightarrow\infty$ of $x\rightarrow-\infty$ . In dit geval zal de grafiek de lijn $y=a$ naderen, omdat de breuk in die gevallen tot $0$ zal naderen.

Voorbeeld 1

Laten we als eerste voorbeeld de functie nemen met $a=3$ , $b=1$ en $c=2$ . De grafiek ziet er als volgt uit:

Om deze grafiek goed te kunnen schetsen, is het verstandig de volgende stappen te volgen:

Bepaal de verticale asymptoot (in dit geval $x=2$ );
Bepaal de horizontale asymptoot (in dit geval $y=3$ );
Bepaal het snijpunt met de $Y$ -as, indien het bestaat;
Bepaal het snijpunt met de $X$ -as, indien het bestaat;

De verticale en horizontale asymptoten zijn snel gevonden. Ook het snijpunt met de $Y$ -as levert geen problemen op (kies $x=0$ en we vinden $y=\displaystyle\frac{5}{2}$ ). Het snijpunt met de $X$ -as vinden we door de volgende vergelijking op te lossen:

$0=3+\displaystyle\frac{1}{x-2}=\displaystyle\frac{3(x-2)+1}{x-2}=\displaystyle\frac{3x-5}{x-2}$

$x=\displaystyle\frac{5}{3}$

Voorbeeld 2

Bepaal van de functie:

$y=\displaystyle\frac{1}{x-2}$

de verticale asymptoot;
de horizontale asymptoot;
het snijpunt met de $Y$ -as als dat bestaat;
het snijpunt met de $X$ -as als dat bestaat.

Schets met behulp van deze resultaten de grafiek.

We zien onmiddellijk dat de verticale asymptoot is $x=2$ (de waarde waarvoor de noemer gelijk $0$ wordt); de horizontale asymptoot is $y=0$ (naar welke waarde convergeert de functie voor $x\rightarrow\infty$ of $\rightarrow-\infty$ ); het snijpunt met de $Y$ -as bestaat en is $y=\displaystyle-\frac{1}{2}$ (neem $x=0$ ) en het snijpunt met $X$ -as bestaat niet want de $X$ -as ( $y=0$ ) is een asymptoot.

De grafiek van deze functie laat zich nu snel schetsen:

Voorbeeld 3

Bepaal van de functie:

$y=2+\displaystyle\frac{1}{x}$

de verticale asymptoot;
de horizontale asymptoot;
het snijpunt met de $Y$ -as als dat bestaat;
het snijpunt met de $X$ -as als dat bestaat.

Schets met behulp van deze resultaten de grafiek.

Wanneer we de asymptoten van $\displaystyle\frac{1}{x}$ kennen, weten we ook die van de functie $y$ .
We zien dat de verticale asymptoot is $x=0$ (de $Y$ -as); de horizontale asymptoot is $y=2$ (de waarde die $y$ zal aannemen wanneer $x\rightarrow\infty$ of $x\rightarrow-\infty$ ); het snijpunt met de $Y$ -as bestaat niet (want de $Y$ -as is een asymptoot); het snijpunt met de $X$ -as kan worden berekend uit de vergelijking (neem $y=0$ ):

$0=2+\displaystyle\frac{1}{x}=\displaystyle\frac{2x+1}{x}$

$x=\displaystyle-\frac{1}{2}$

De grafiek laat zich nu gemakkelijk schetsen:

Voorbeeld 4

Bepaal van de functie:

$y=\displaystyle\frac{x-1}{x+2}$

de verticale asymptoot;
de horizontale asymptoot;
het snijpunt met de $Y$ -as als dat bestaat;
het snijpunt met de $X$ -as als dat bestaat.

Schets met behulp van deze resultaten de grafiek.

De functie heeft niet de standaardvorm waarmee we hierboven hebben gewerkt. Maar het is niet moeilijk toch weer die standaardvorm tevoorschijn te toveren.
We kunnen de functie ook anders schrijven:

$y=\displaystyle\frac{x-1}{x+2}=\displaystyle\frac{(x+2)-3}{x+2}=\displaystyle\frac{x+2}{x+2}-\displaystyle\frac{3}{x+2}=1-\displaystyle\frac{3}{x+2}$

Van deze functie weten we dat de verticale asymptoot $x=-2$ is, dat de horizontale asymptoot $y=1$ is (immers, het tweede lid heeft als asymptoot $y=0$ ), dat het snijpunt met de $Y$ -as is: $(0, -0.5)$ en dat het snijpunt met de $X$ -as is $(1,0)$ .
De grafiek is dan snel gevonden: