Impliciet differentiëren

Samenvatting en voorbeelden

Vaak wordt een functie in expliciete vorm gegeven, dat wil zeggen in de vorm $y=f(x)$ . Wanneer we $y$ naar $x$ willen differentiëren, maken we gebruik van de methoden die we hebben leren kennen bij de onderwerpen die gaan over differentiëren. Zo kunnen we de tabel met standaardfuncties, product-, quotiënt- en kettingregel gebruiken.

Maar ook komt het voor dat een dergelijke functie $f(x)$ niet expliciet is gegeven, maar in impliciete vorm, dat wil zeggen in de vorm $f(x,y)=0$ . Ook in dit geval zouden we een afgeleide van $y$ kunnen willen bepalen, maar we weten niet onmiddellijk hoe we dit moeten aanpakken. Daarover gaat dit onderwerp.

In dit verband is het overigens nuttig te realiseren dat we eigenlijk zouden moeten schrijven $f(x, y(x))=0$ . Immers, $y$ is een functie van $x$ . Maar meestal (wiskundigen zijn vaak lui) schrijven we $y$ in plaats van $y(x)$ , maar we weten wel dat dit een verkorte schrijfwijze is.
Om aan te geven hoe we een impliciete functie moeten differentiëren, bekijken we enkele voorbeelden.

Voorbeeld 1

Bepaal de afgeleide van $y(x)$ wanneer deze gegeven is in impliciete vorm:

$h(x,y(x)=xy(x)-1=0$

Omdat we de functie $y(x)$ niet in expliciete vorm beschikbaar hebben (die is in dit geval wel eenvoudig te bepalen, zie later, maar daarvoor doen we nu geen moeite), moeten we onze toevlucht nemen tot impliciet differentiëren.

We zien dat de expressie die we moeten differentiëren een product van twee functies van $x$ bevat. De ene functie noemen we $f(x)=x$ , de andere is $g(x)=y(x)$ . We passen dus de productregel toe:

$h'(x)=[xy(x)]'=1.y(x)+x.y'(x)$

We kunnen nu dus schrijven:

$[xy(x)]'=0\Rightarrow y(x)+x.y'(x)=0\Rightarrow y'(x)=-\displaystyle\frac{y(x)}{x}$

Jammer genoeg hebben we hier nog niet zo veel aan, want de afgeleide $y'(x)$ is nu beschikbaar als functie van $y(x)$ maar die kenden we nu juist niet. Zou dat wel het geval zijn geweest, dan was het ook niet nodig geweest om impliciet te differentiëren.

Zoals al genoemd kunnen we de impliciete expressie:

$h(x,y(x))=xy(x)-1=0$

ook expliciet schrijven:

$y(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$

Wanneer we $y(x)$ substitueren in bovenstaande afgeleide, krijgen we:

$y'(x)=-\displaystyle\frac{y(x)}{x}=-\displaystyle\frac{1}{x^2}$

Dit is het resultaat dat we zouden verwachten.

Voorbeeld 2

Het volgende voorbeeld (zoals meer voorbeelden bij dit onderwerp) is ontleend aan het boek van Sydsaeter en Hammond: Essential Mathematics for Economic Analysis (4th ed).

Bepaal de afgeleide in het punt (2,1) van de grafiek van de impliciet gegeven functie $y(x)$ :

$y^3+3x^2y=13$

We zien dat het niet eenvoudig is (en misschien wel niet mogelijk) van deze impliciete vergelijking een expliciete functie van $y(x)$ af te leiden. Willen we dan toch de afgeleide vinden, moeten we gebruik maken van impliciet differentiëren.
We differentiëren linker en rechter lid en concentreren ons op het linkerlid:

$[y^3+3x^2y]'=[y^3]'+3[x^2y]'$

De tweede term is niet moeilijk te differentiëren, want een dergelijk voorbeeld hebben we al eerder gezien. De eerste term vraagt wel om enige toelichting. We zien dat we niet $y$ moeten differentiëren – dat zou opleveren $y'$ - maar een functie van $y$ namelijk $y^3$ . In zulke gevallen moeten we de kettingregel toepassen:

$[y^3]'=3y^2.y'$

Om dit te begrijpen, kijken we naar een vergelijkbaar voorbeeld. Wanneer we weten dat de afgeleide van $y=\ln(x)$ gelijk is aan $\displaystyle\frac{1}{x}$ , en we moeten de afgeleide berekenen van $y^3=(\ln(x))^3$ dan levert toepassing van de kettingregel:

$[y^3]'=[(\ln(x))^3]'=3(\ln(x))^2.[\ln(x)]'=3y^2y'$ .

We krijgen dus:

$[y^3+3x^2y]'=[y^3]'+3[x^2y]=3y^2y'+6xy+3x^2y'$

en moeten $y'$ oplossen uit de vergelijking:

$3y^2y'+6xy+3x^2y'=0$

wat resulteert in de afgeleide:

$y'=-\displaystyle\frac{2xy}{x^2+y^2}$

In het punt $(2,1)$ vinden we dus $y'=-\displaystyle\frac{4}{5}$

Voorbeeld 3

De volgende formule beschrijft de grafiek van een cirkel met middelpunt $(0,0)$ en straal $R=1$ :

$x^2+y^2=1$

In welke punten heeft de raaklijn aan de cirkel een helling gelijk aan $1$ (dat wil zeggen dat zo’n raaklijn een hoek van $45$ graden maakt met de $X$ -as).

Om de helling te vinden moeten we deze impliciete functie differentiëren:

$2x+2yy'=0$ of

$y'=-\displaystyle\frac{x}{y}$

Een helling gelijk aan $1$ betekent dat moet gelden $y'=1$ of $-\displaystyle\frac{x}{y}=1$ of $x=-y$ .
Samen met de vergelijking $x^2+y^2=1$ vinden we dat $2x^2=1$ , dus $x=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{2}$ of $x=-\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{2}$ .
De gezochte punten zijn dus $(+\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{2}, -\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{2})$ ), of $(-\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{2}, +\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{2})$ .
Ga aan de hand van een figuur na of dit kan kloppen.