Blader: Home   /   Oppervlakten en inhouden   /   Opgaven   /   Uitwerking opgave 10 Oppervlakten en inhouden

Uitwerking opgave 10 Oppervlakten en inhouden

Terug naar Opgaven Oppervlakten en inhouden

Opgave 10

Stel we hebben een bol met een straal R. Door deze bol wordt een cilinder geboord waarvan de as door het middelpunt van de bol gaat (vergelijk met een appelboor). Nadat de cilinder is geboord blijkt deze een lengte 2a te hebben met 2a\leq{R}.
Bereken de inhoud van de bolschil, dat wil zeggen dat deel van de bol dat overblijft nadat de cilinder is geboord.

Uitwerking

We nemen aan dat de oorsprong het middelpunt van de bol is. We kijken vervolgens naar de cirkel in het eerste kwadrant en zien dat de cilinder loopt van x=0 tot x=a. De straal van de cilinder is \sqrt{R^2-x^2}. De inhooud van de bolschil is dan:

\displaystyle\int_{0}^{a}\pi[(\sqrt{R^2-x^2})^2-\sqrt{R^2-a^2})^2]dx=

\displaystyle=\pi\int_{0}^{a}[(R^2-x^2)-(R^2-a^2)]dx=

\displaystyle=\pi\int_{0}^{a}(a^2-x^2)dx=

=\displaystyle\frac{2}{3}\pi{a^3}

En dus is de inhoud van de bolschil gelijk aan =\displaystyle\frac{4}{3}\pi{a^3}

Merk op dat dit resultaat onafhankelijk is van de straal van de bol. We kunnen het resultaat verifiëren: als a=R dan is de cilinder oneindig dun en is de inhoud van de bolschil gelijk aan de inhoud van de bol: \displaystyle=\frac{4}{3}\pi{R^3}. Als a=0 dan is de hoogte van de cilinder gelijk aan 0 en dus hebben we de gehele bol weggeboord. De inhoud van de bolschil is dan ook gelijk aan 0.

Terug naar Opgaven Oppervlakten en inhouden

0
Web Design BangladeshWeb Design BangladeshMymensingh