Blader: Home   /   Oppervlakten en inhouden   /   Opgaven   /   Uitwerking opgave 05 Oppervlakten en inhouden

Uitwerking opgave 05 Oppervlakten en inhouden

Terug naar Opgaven Oppervlakten en inhouden

Opgave 5

Bereken de oppervlakte van de cirkel x^2+y^2=R^2, dat is de cirkel met middelpunt (0,0) en straal R.

Uitwerking

De oppervlakte kan worden berekend door eerst de oppervlakte van het deel van de cirkel in het eerste kwadrant te berekenen en het antwoord te vermenigvuldigen met 4. De functie in het eerste kwadrant is:

y=\sqrt{R^2-x^2}

en dus moeten we uitrekenen:

\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{R^2-x^2}dx

We gebruiken eerst de substitutiemethode:

x=R\sin\phi, met \phi lopend van \phi=0 tot \phi=\displaystyle\frac{\pi}{2}

met als resultaat:

\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{R^2-R^2\sin^2{\phi}}dR\sin{\phi}=R^2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2{\phi}d\phi

Nu gebruiken we een formule uit de goniometrie:

\cos2\phi=2\cos^2\phi-1

en dus:

\cos^2\phi=\displaystyle\frac{\cos2\phi+1}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}\cos2\phi+\displaystyle\frac{1}{2}

De integraal wordt nu:

R^2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[\frac{1}{2}\cos2\phi+\frac{1}{2}]d\phi=R^2[\frac{1}{4}\sin2\phi+\frac{1}{2}\phi]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{4}{\pi}R^2

De oppervlakte van de gehele cirkel is dus \displaystyle4\cdot\frac{1}{4}{\pi}R^2={\pi}R^2.

Dit resultaat kenden we natuurlijk al.

Terug naar Opgaven Oppervlakten en inhouden

0
Web Design BangladeshWeb Design BangladeshMymensingh