Uitwerking opgave 10 Goniometrische vergelijkingen

Terug naar Opgaven Goniometrische vergelijkingen

Opgave 10

Los op voor 0\leq{x}\leq{2\pi}:

6\sin^2(x)-5\sin(x)+1=0

Uitwerking

We stellen voor deze vergelijking een schaduwvergelijking op door te stellen:

y=\sin(x)

Substitutie in de oorspronkelijke vergelijking levert:

6y^2-5y+1=0

Dit is een tweedegraads vergelijking met als oplossing:

y_{1,2}=\displaystyle\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4.6.1}}{12}=\displaystyle\frac{5\pm1}{12}

y_1=\displaystyle\frac{1}{2} of y_2=\displaystyle\frac{1}{3}

We moeten dus nog de vergelijkingen oplossen:

\sin(x_1)=\displaystyle\frac{1}{2}

\sin(x_2)=\displaystyle\frac{1}{3}

De eerste vergelijking levert:

x_1=\displaystyle\frac{\pi}{6}=0.52

of

x_1=\displaystyle\frac{5\pi}{6}=2.61

De tweede oplossing moet met behulp van een rekenmachine worden uitgerekend. We vinden bij benadering:

x_2=0.34

of

x_2=2.80

De vergelijking heeft dus in het gegeven interval vier oplossingen:

0.34; 0.52; 2.61; 2.80

Terug naar Opgaven Goniometrische vergelijkingen

0
Web Design BangladeshWeb Design BangladeshMymensingh