Opgaven

In deze serie worden opgaven gegeven die je leren met goniometrische functies te spelen. Je moet daartoe verschillende formules gebruiken: de som-, verschilformules en de formules die we al bij een ander hoofdstuk zijn tegengekomen, zie Goniometrie (eenheidscirkel en eenvoudige formules). In het bijzonder bij dit onderwerp geldt: oefening baart kunst.

1. Toon aan dat geldt:

$\sin(2x)=\displaystyle\frac{2\tan(x)}{1+\tan^2(x)}$

Zie uitwerking

2. Leid af:

$\sin(x)+\sin(y)=2\sin[\displaystyle\frac{1}{2}(x+y)]\cos[\displaystyle\frac{1}{2}(x-y)]$

Zie uitwerking

3. Los op voor $0\leq{x}\leq2\pi$ :

$2\cos^2(x)+3\sin(x)=0$

Zie uitwerking

4. Gebruik de formules van Simpson/Mollweide voor de volgende formule:

$y(t)=\sin(101t)+\sin(100t)$

Verklaar het resultaat aan de hand van de volgende figuur. Denk hierbij ook aan het zweven van het geluid van motoren van sportvliegtuigjes.

Zie uitwerking

5. Toon aan met behulp van goniometrische formules dat geldt:

$\sin(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x)=\cos(x)$

Zie uitwerking

6. Toon aan dat geldt:

$\sin^3(x)=\displaystyle\frac{3}{4}\sin(x)-\displaystyle\frac{1}{4}\sin(3x)$

Zie uitwerking

7. Los op voor $0\leq{x}\leq{2\pi}$ :

$\sin(5x)+\sin(x)-\sin(3x)=0$

Zie uitwerking

8. Een punt beweegt in het $xy$ -vlak. Het punt beweegt in de $x$ -richting volgens een functie $x(t)$ en in de $y$ -richting volgens een functie $y(t)$ . Wanneer geldt: