Partieel differentiëren

Samenvatting en voorbeelden

Tot dusver hebben we besproken hoe een functie van een variabele kan worden gedifferentieerd. Maar ook functies met twee of meer onafhankelijke variabelen kunnen we differentiëren.

Stel $z$ is een functie van twee onafhankelijke variabelen $x$ en $y$ , dus we schrijven $z=f(x,y)$ .
De grafiek van deze functie is $3D$ .
De afgeleide naar $x$ in een punt van de grafiek van de functie is de helling van de raaklijn in dat punt in de $x$ -richting (dat wil zeggen, $y$ wordt constant gehouden). Voor deze zogeheten partiële afgeleide worden verschillende notaties gebruikt: $\displaystyle\frac{\partial{z}}{\partial{x}},\frac{\partial{f}}{\partial{x}},z_x, f_x$ .
De afgeleide naar $y$ in een punt van de grafiek van de functie is de helling van de raaklijn in dat punt in de $y$ -richting (dat wil zeggen, $x$ wordt constant gehouden). Voor deze zogeheten partiële afgeleide worden verschillende notaties gebruikt: $\displaystyle\frac{\partial{z}}{\partial{y}},\frac{\partial{f}}{\partial{y}}, z_y, f_y$ .
De $\displaystyle\partial$ in plaats van $d$ geeft aan dat er sprake is van een partiële afgeleide, naar $x$ of naar $y$ .

Hoe berekenen we een partiële afgeleide?

Om de partiële afgeleide $\displaystyle\frac{\partial{f}}{\partial{x}}$ te berekenen beschouwen we $x$ als een onafhankelijke variabele en $y$ als een constante, dus doe alsof $y$ een constante is. Dit is niet echt moeilijk, maar toch moet je daarbij erg oppassen, een vergissing is snel gemaakt.

Voorbeeld 1

De functie $f(x,y)=3x^3y^2+x+y^2$ heeft twee onafhankelijke variabelen, $x$ en $y$ .
Als we $y$ als een constante beschouwen, dan geldt voor de afgeleide $f_x= 9x^2y^2+1+0=9x^2y^2+1$ (Als je moeite hebt $y$ als een constante te zien, vervang hem dan in gedachten door een getal, bijvoorbeeld $y=5$ .)

Voorbeeld 2

$f(x,y)=x^3y^2+xy^2+x^2y$

$f_x=3x^2y^2+y^2+2xy$

$f_y=2x^3y+2xy+x^2$

$f_{xx}=6xy^2+2y$ (tweede partiële afgeleide naar $x$ )

$f_{yy}=2x^3+2x$ (tweede partiële afgeleide naar $y$ )

Er zijn ook zogenaamde gemengde afgeleiden, eerst naar $x$ dan naar $y$ : $\displaystyle\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}$ of eerst naar $y$ en dan naar $x$ $\displaystyle\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}$ .

Voor de meeste gangbare functies zijn de gemengde partiële afgeleiden gelijk: $f_{xy}=f_{yx}$ . Ga dit na bij dit voorbeeld.